9.3. ОПЕРАТОР ЦИКЛИЧЕСКОЙ СУПЕРПОЗИЦИИ

При использовании оператора циклической суперпозиции массивы отсчетов входного и выходного изображений, а также импульсного отклика должны быть периодическими по пространственным переменным с одинаковым периодом. Для единства изложения примем, как и прежде, что все эти массивы имеют конечные размеры. Допустим также, что массив исходных отсчетов размером помещен в левый верхний угол массива, содержащего нулей , т. е. образуется расширенный массив

при , (9.3.1а)

при . (9.3.1б)

Аналогично формируется расширенный массив отсчетов импульсного отклика:

при , (9.3.2а)

при . (9.3.2б)

Далее образуем периодически продолженные массивы и , повторяя (размножая) расширенные массивы с периодом в отсчетов. Циклическая свертка этих массивов по определению равна

. (9.3.3)

Бросается в глаза сходство данного выражения с равенством (9.1.1), описывающим суперпозицию конечных массивов. В самом деле, если выбрано так, что , то при . Следует также отметить сходство циклической суперпозиции с суперпозицией дискретизованных массивов. Эти соотношения становятся более ясными, когда используется векторное представление циклической суперпозиции.

Допустим, что массивы и представлены соответственно -компонентными векторами и . Тогда для операции циклической суперпозиции можно записать соотношение

, (9.3.4)

где - матрица элементов массива размера . Оператор циклической суперпозиции удобно выразить в виде блочной матрицы с блоками размера :

, (9.3.5)

где

, (9.3.6)

причем и , a и . Следует отметить, что каждая строка и каждый столбец блочной матрицы содержат ненулевых блоков. Если массив отсчетов импульсного отклика является пространственно-инвариантным, то

(9.3.7)

и любую строку (или столбец) можно получить путем циклической перестановки блоков первой строки (или первого столбца). На рис. 9.3.1,а приведен пример оператора циклической свертки, когда входной и выходной массивы имеют размеры , а размер массива отсчетов импульсного отклика равен . На рис. 9.3.1,б показана структура матрицы того же оператора при и , когда импульсный отклик имеет гауссову форму.