Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


9.3. ОПЕРАТОР ЦИКЛИЧЕСКОЙ СУПЕРПОЗИЦИИ

При использовании оператора циклической суперпозиции массивы отсчетов входного и выходного изображений, а также импульсного отклика должны быть периодическими по пространственным переменным с одинаковым периодом. Для единства изложения примем, как и прежде, что все эти массивы имеют конечные размеры. Допустим также, что массив исходных отсчетов  размером  помещен в левый верхний угол массива, содержащего  нулей , т. е. образуется расширенный массив

 при ,                   (9.3.1а)

 при .              (9.3.1б)

Аналогично формируется расширенный массив отсчетов импульсного отклика:

 при ,                        (9.3.2а)

 при .                 (9.3.2б)

Далее образуем периодически продолженные массивы  и , повторяя (размножая) расширенные массивы с периодом в  отсчетов. Циклическая свертка этих массивов по определению равна

.                     (9.3.3)

Бросается в глаза сходство данного выражения с равенством (9.1.1), описывающим суперпозицию конечных массивов. В самом деле, если  выбрано так, что , то  при . Следует также отметить сходство циклической суперпозиции с суперпозицией дискретизованных массивов. Эти соотношения становятся более ясными, когда используется векторное представление циклической суперпозиции.

Допустим, что массивы  и  представлены соответственно -компонентными векторами  и . Тогда для операции циклической суперпозиции можно записать соотношение

,                  (9.3.4)

где  - матрица элементов массива  размера . Оператор циклической суперпозиции удобно выразить в виде блочной матрицы с блоками  размера :

,                 (9.3.5)

где

,             (9.3.6)

причем  и , a  и . Следует отметить, что каждая строка и каждый столбец блочной матрицы  содержат  ненулевых блоков. Если массив отсчетов импульсного отклика является пространственно-инвариантным, то

                (9.3.7)

и любую строку (или столбец) можно получить путем циклической перестановки блоков первой строки (или первого столбца). На рис. 9.3.1,а приведен пример оператора циклической свертки, когда входной и выходной массивы имеют размеры  , а размер массива отсчетов импульсного отклика равен  . На рис. 9.3.1,б показана структура матрицы того же оператора при  и , когда импульсный отклик имеет гауссову форму.

231.jpg

Рис. 9.3.1. Примеры матриц оператора циклической свертки.

а - общий случай, ; б - импульсный отклик гауссовой формы, .

Если же импульсный отклик является пространственно-инвариантным и разделимым, то

,                        (9.3.8)

где  и  - матрицы вида

,                       (9.3.9)

размер которых равен . При этом двумерная циклическая свертка вычисляется в соответствии с соотношением

.                    (9.3.10)

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>