9.4. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

Из матрицы оператора циклической суперпозиции  можно получить матрицы оператора суперпозиции конечных массивов  и дискретизованного оператора суперпозиции . Для этого следует ввести выделяющие матрицы

,             (9.4.1а)

,                        (9.4.1б)

где  - единичная матрица размера . Приведем соотношения, связывающие эти матрицы с матрицами, полученными из них обобщенным обращением и транспонированием:

,                        (9.4.2а)

,                        (9.4.2б)

,                        (9.4.2в)

.                        (9.4.2г)

Анализируя структуру различных линейных операторов, можно показать, что

,                    (9.4.3а)

.                    (9.4.3б)

Таким образом, матрица  образуется посредством выделения первых  строк и  столбцов блока  матрицы . При этом во всех других блоках также выделяются первые  строк и  столбцов. Аналогично из матрицы  можно образовать матрицу . Элементы матрицы , из которых формируются матрицы  и , на рис. 9.3.1,а заключены в рамки.

Из определения (9.3.1) расширенного массива отсчетов исходного изображения следует, что вектор отсчетов конечного исходного изображения  образуется из вектора расширенного изображения  при помощи операции выделения:

,                     (9.4.4а)

.                   (9.4.4б)

Можно также показать, что выходной вектор оператора суперпозиции конечных массивов можно получить из выходного вектора оператора циклической суперпозиции с помощью операции выделения:

.                   (9.4.5a)

Между векторами существует и обратное соотношение

.                (9.4.5б)

Для дискретизованного оператора суперпозиции

,                   (9.4.6)

однако обратный переход от  к  выполнить не удается в силу недоопределенности дискретизованного оператора суперпозиции. Преобразуя  и  в матричную форму, из соотношения (9.4.5а) можно получить равенство

.                      (9.4.7)

Поскольку оператор выделения обладает свойством разделимости, формула (9.4.7) упрощается к виду

.               (9.4.8)

Аналогично из равенства (9.4.6), относящегося к дискретизованному оператору суперпозиции, можно получить соотношение

.               (9.4.9)

На рис. 9.4.1 показано расположение элементов матрицы , из которых формируются матрицы для оператора суперпозиции конечных массивов  и для дискретизованного оператора суперпозиции .

Рис. 9.4.1. Расположение матриц  и  в матрице .

а - оператор суперпозиции конечных массивов; б - дискретизованный оператор суперпозиции.

Итак, для обоих операторов выходные векторы можно получить из результата циклической суперпозиции с помощью операции выделения части элементов. Как показано в гл. 11, этот факт позволяет упростить вычисления.