10.4. СИНУСНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Быстрое синусное преобразование, предложенное Джейном [13] в качестве аппроксимации преобразования Карунена-Лоэва для марковского процесса, в одномерном случае определяется с помощью базисных функций вида

,                   (10.4.1)

где . Рассмотрим матрицу, содержащую ненулевые элементы только на главной диагонали и двух прилегающих к ней поддиагоналях (так называемую трехдиагональную матрицу):

,                     (10.4.2)

где , причем  - коэффициент корреляции соседних элементов марковского процесса. Можно показать [141, что с помощью унитарной матрицы , в качестве элементов которой взяты базисные функции (10.4.1), матрицу  можно привести к диагональному виду в том смысле, что

,               (10.4.3)

где  - диагональная матрица, составленная из элементов

                   (10.4.4)

при .

Двумерное синусное преобразование определяется соотношением

,                       (10.4.5)

а обратное преобразование имеет тот же вид. Синусное преобразование можно вычислить с помощью алгоритма преобразования Фурье. Допустим, что массив  размером  образуется в соответствии с равенствами

 при ,                       (10.4.6а)

 в других случаях. (10.4.6б)

Тогда, выделяя мнимую часть коэффициентов Фурье массива , можно найти синусное преобразование в виде

.                     (10.4.7)

Графики базисных функций синусного преобразования при  представлены на рис. 10.4.1, а на рис. 10.4.2 приведены фотографии, полученные синусным преобразованием изображения.

Рис. 10.4.1. Базисные функции синусного преобразования при .

Рис. 10.4.2. Синусное преобразование изображения «Портрет».

а - исходное изображение; б - синусный спектр в логарифмическом масштабе по оси амплитуд; в - спектр с ограниченными наибольшими гармониками.