10.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АДАМАРА

Преобразование Адамара [16, 17] основано на квадратной матрице Адамара [18], элементы которой равны плюс или минус единице, а строки и столбцы образуют ортогональные векторы. Нормированная матрица Адамара -го порядка удовлетворяет соотношению

.             (10.5.1)

Среди ортонормальных матриц Адамара наименьшей является матрица второго порядка

.                 (10.5.2)

Известно, что если матрица Адамара порядка  (где ) существует, то  делится на 4 без остатка [19]. Пока не удалось определить, существуют ли матрицы Адамара для произвольных , удовлетворяющих этому условию, однако почти для всех допустимых , доходящих до 200, найдены правила построения соответствующих матриц. Наиболее просто удается построить такие матрицы при , где  - целое. Если  - матрица Адамара -го порядка, то матрица

                  (10.5.3)

также является матрицей Адамара, но порядка . На рис. 10.5.1 приведены матрицы Адамара четвертого и восьмого порядка, построенные с помощью соотношения (10.5.3).

Рис. 10.5.1. Неупорядоченные матрицы Адамара четвертого и восьмого порядка.

Хармут [20] предложил частотную интерпретацию матриц Адамара, имеющих блочную структуру (10.5.3). Число изменений знака вдоль каждой строки матрицы Адамара, деленное на два, называется секвентой строки. Можно построить матрицу Адамара порядка , в которой число изменений знака в строках принимает значения от 0 до . Унитарные матрицы с такими характеристиками называются матрицами с секвентным свойством.

Строки матрицы Адамара, описываемой соотношением (10.5.3), можно рассматривать как последовательность отсчетов прямоугольных периодических колебаний (сигналов), период которых кратен . Подобные непрерывные функции, называемые функциями Уолша [21], связаны с импульсными функциями Радемахера [22]. Следовательно, матрица Адамара описывает преобразование, связанное с разложением функций по семейству прямоугольных базисных функций, а не по синусам и косинусам, характерным для преобразования Фурье.

Для симметричных матриц Адамара порядка  двумерное преобразование Адамара можно представить в виде ряда

,                (10.5.4)

где

.                       (10.5.5)

Переменные  и  равны цифрам в двоичном представлении чисел  и  соответственно. Так, например, если , то  и . Если матрица Адамара упорядочена, т. е. строки ее переставлены в порядке возрастания секвенты, то существует другая форма записи преобразования Адамара. В этом случае

,                (10.5.6)

где

,                     (10.5.7)

причем

              (10.5.8)

Графики базисных функций преобразования Адамара с упорядоченной матрицей для  представлены на рис. 10.5.2. Базисные изображения, образованные с помощью матричного произведения базисных векторов преобразования Адамара размера , приведены на рис. 10.5.3. На рис. 10.5.4 дан пример преобразования Адамара (для упорядоченной матрицы Адамара).

Рис. 10.5.2. Базисные функции преобразования Адамара при .

Рис. 10.5.3. Базисные изображения преобразования Адамара при .

Черный цвет соответствует значению +1, белый - значению -1.

Рис. 10.5.4. Преобразование Адамара изображения «Портрет».

а - исходное изображение; б - спектр Адамара в логарифмическом масштабе по оси амплитуд; в - спектр с ограниченными наибольшими гармониками