10.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХААРА

Преобразование Хаара [1, 23] основывается на ортогональной матрице Хаара. Ниже приведены примеры ортонормальных матриц Хаара четвертого и восьмого порядка:

                     (10.6.1)

Матрицы Хаара более высокого порядка строятся по тем же правилам, что и матрицы (10.6.1) и (10.6.2). На рис. 10.6.1 приведены графики базисных функций преобразования Хаара при . Базисные изображения того же преобразования для матрицы отсчетов, содержащей  элементов, представлены на рис. 10.6.2.

Преобразование Хаара можно рассматривать как процесс дискретизации исходного сигнала, при котором с переходом к следующей строке вдвое уменьшается шаг дискретизации.

Рис. 10.6.1. Базисные функции преобразования Хаара при .

Рис. 10.6.2. Базисные изображения преобразования Хаара при . Черный цвет соответствует значению +1. белый - значению -1, штриховка - 0.

В задачах обработки изображений хааровский спектр описывает распределение энергии компонент, соответствующих разностям яркостей соседних элементов, разностям средних значений яркостей соседних пар элементов и вообще разностям средних значений яркостей соседних групп из  элементов.

На рис. 10.6.3 приведен пример преобразования Хаара для конкретного изображения. На снимке с логарифмическим масштабом отчетливо заметна концентрация энергии, особенно в областях с высокими секвентами. Отметим, что в спектре Хаара наблюдается концентрация энергии также в областях с низкими секвентами.

Рис. 10.6.3. Преобразование Хаара изображения «Портрет».

а - исходное изображение; б - спектр Хаара в логарифмическом масштабе по оси амплитуд; в - спектр с ограниченными наибольшими гармониками.