10.12. МОДЕЛИ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Было бы полезно знать плотность вероятности элементов преобразованного изображения для произвольного преобразования. К сожалению, найти эту плотность нелегко, так как обычно мы не имеем полного описания плотности вероятности исходного изображения. Кроме того, сами преобразования, как правило, являются сложными математическими операциями. Однако рассмотренные выше преобразования, применяемые для обработки изображений, сводятся к вычислению взвешенных сумм всех элементов исходного изображения. Поэтому, пользуясь центральной предельной теоремой теории вероятностей, можно прийти к выводу о том, что плотность вероятности элементов преобразованного изображения близка к гауссовой с теми моментами, которые были найдены в предыдущем разделе.

Коэффициенты преобразования Фурье являются комплексными числами, и их можно задавать с помощью действительной и мнимой частей или же модулем и аргументом. В обоих случаях каждому коэффициенту соответствуют два числа, которые необходимо подвергнуть квантованию. Можно считать, что действительная  и мнимая  части коэффициента Фурье имеют одинаковые гауссовы распределения, дисперсия которых  пропорциональна энергетическому спектру исходного изображения. Таким образом,

,                      (10.12.1а)

.                      (10.12.1б)

Если действительная и мнимая составляющие имеют гауссово распределение, то модуль коэффициента Фурье  распределен по закону Рэлея. Таким образом,

                      (10.12.2)

при , а фаза  имеет равномерное распределение

,             (10.12.3)

где .

Можно считать, что действительные коэффициенты других преобразований имеют гауссовы распределения вида

.                       (10.12.4)

Плотность распределения вероятностей Рэлея (10.12.2) часто применяют в качестве модели плотности вероятности постоянной составляющей  яркостных изображений, поскольку для таких изображений коэффициент  всегда строго положителен. Рассмотренные модели плотностей вероятности широко применяются при разработке методов кодирования с преобразованием изображений.