10.11. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Для создания эффективных методов квантования и кодирования преобразованных изображений необходимо знать статистические свойства последних. В данном разделе определены первые и вторые моменты спектральных коэффициентов. Следующий раздел посвящен созданию статистической модели плотности вероятности этих коэффициентов.

Если предположить, что массив элементов изображения является реализацией двумерного случайного процесса с известными математическим ожиданием и ковариационной функцией, то его спектр (результат унитарного преобразования)

(10.11.1)

также будет реализацией случайного процесса. Согласно равенству (8.2.1б), математическое ожидание

, (10.11.2)

где - математическое ожидание . С помощью равенства (8.2.3) можно получить выражение для ковариационной функции спектра

, (10.11.3)

где через обозначена ковариационная функция . И наконец, дисперсия равна

. (10.11.4)

При векторном представлении унитарного преобразования вектор, образованный разверткой по столбцам матрицы коэффициентов преобразования, определяется соотношением

. (10.11.5)

Математическое ожидание этого вектора

, (10.11.6)

а ковариационная матрица

. (10.11.7)

Матрица дисперсий коэффициентов преобразования образуется из диагональных элементов ковариационной матрицы (10.11.7).

Рассмотрим теперь, как вычисляются первый и второй моменты матрицы коэффициентов преобразования применительно к конкретным унитарным преобразованиям. Очевидно, что в общем случае все моменты можно получить в виде ряда или вектора, производя вычисления по вышеприведенным формулам. Однако для проектирования и анализа систем желательно иметь аналитические выражения моментных функций.

Сначала рассмотрим случай преобразования Карунена-Лоэва. В общем виде ковариационная функция коэффициентов этого преобразования описывается равенством (10.11.3), которое можно представить в следующем виде:

. (10.11.8)

Однако формула (10.8.2) подсказывает, что вторая двойная сумма совпадает с определением ядра преобразования Карунена-Лоэва. Таким образом,

, (10.11.9)

где - собственные значения ковариационной матрицы изображения. Поскольку преобразование Карунена-Лоэва ортогонально, т. е.

, (10.11.10)

то коэффициенты этого преобразования некоррелированы между собой, а их дисперсии равны соответствующим собственным значениям:

. (10.11.11)

Преобразование Карунена-Лоэва является единственным унитарным преобразованием, в котором достигается полная декорреляция произвольного изображения. В других преобразованиях между коэффициентами преобразования остается некоторая остаточная корреляция. Кроме того, преобразование Карунена-Лоэва обеспечивает наибольшую среди всех унитарных преобразований степень концентрации энергии спектра изображения. Предположим, что коэффициенты произвольного преобразования расположены в порядке убывания их дисперсий, т. е. , также расположены собственные значения корреляционной матрицы, т. е. . Можно показать, что для любого верхнего предела суммирования выполняется неравенство

. (10.11.12)

Чтобы найти аналитические выражения для моментов других преобразований, необходимо задать статистические свойства элементов изображения. Если изображение стационарно в широком смысле, то его математическое ожидание постоянно, и поэтому

. (10.11.13)

Но поскольку базисные функции являются ортогональными, то результат суммирования отличен от нуля только для нулевой базисной функции упорядоченного преобразования. Следовательно,

при , (10.11.14а)

при . (10.11.14б)

В тех преобразованиях, где в число базисных функций входит постоянная функция, двойная сумма (10.11.14а) равна .

Если изображение стационарно в широком смысле, соответствующая ковариационная функция имеет вид . Однако матрица коэффициентов преобразования будет стационарной в широком смысле только тогда, когда ядро преобразования обладает свойством пространственной инвариантности. Наглядным подтверждением этого является преобразование Фурье.

Большинство обычно используемых преобразований изображений являются разделимыми в пространственной области. Если, кроме того, разделима по пространственным переменным и ковариационная функция изображения, то

, (10.11.15)

где

, (10.11.16a)

. (10.11.16б)

При этом дисперсия спектра (преобразованного изображения) также разделима, т. е. ее можно представить в виде произведения одномерных функций, описывающих изменение дисперсии вдоль строк и столбцов:

. (10.11.17)

Одномерная дисперсия Фурье-спектра для стационарного в широком смысле изображения имеет вид

, (10.11.18)

где или , а или . Это выражение можно переписать в следующем виде:

. (10.11.19)

Вторую сумму можно рассматривать как одномерное дискретное преобразование Фурье ковариационной функции, сдвинутой на отсчетов. Согласно теореме о преобразовании Фурье смещенной функции,

, (10.11.20)

где и - пара одномерных дискретных преобразований Фурье. Из соотношения (5.4.16) видно, что является дискретным вариантом энергетического спектра строки (или столбца) изображения, уменьшенным на величину, равную средней мощности изображения. Для процесса с нулевым математическим ожиданием

. (10.11.21)

Рассмотренные ранее преобразования Адамара, Хаара и другие не обладают свойством, которое для преобразования Фурье дается теоремой о спектре сдвинутой функции. По этой причине для этих преобразований не удалось получить в конечной форме выражение для дисперсии или ковариационной функции.

На рис. 10.11.1 представлены ковариационные функции коэффициентов некоторых унитарных преобразований отрезка дискретного одномерного марковского процесса, состоящего из 16 элементов, причем коэффициент корреляции между соседними элементами . Графики дисперсии коэффициентов преобразований приведены на рис. 10.11.2.

Рис. 10.11.1. Ковариационные матрицы унитарных преобразований при .

а - тождественное преобразование; б - преобразование Фурье; в - косинусное; г - синусное; д - Адамара; е - Хаара; ж - наклонное; з - Карунена-Лоэва.

Рис. 10.11.2. Дисперсии коэффициентов унитарных преобразований при .