23.3. УМЕНЬШЕНИЕ ОШИБОК КВАНТОВАНИЯ ПРИ КОДИРОВАНИИ НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Один из основных приемов, используемых при кодировании изображений на основе преобразования, состоит в отборе и передаче только тех коэффициентов преобразования, которые занимают заранее определенную зону двумерного спектра (обычно это низкочастотные компоненты). Перед тем как выполнить обратное преобразование на приемной стороне, в таких случаях обычно заменяют все опущенные при передаче коэффициенты нулями. Основываясь, однако, на данных о корреляционных связях в принятой совокупности коэффициентов, можно приближенно восстановить отсеченные коэффициенты вместо того, чтобы произвольно приравнивать их нулю. Процесс такого восстановления называют экстраполяцией спектра [38]. Другой алгоритм кодирования на основе преобразования предусматривает для любого коэффициента определенную шкалу квантования, число уровней которой пропорционально ожидаемой дисперсии коэффициента. Этот алгоритм кодирования вносит, разумеется, искажения. Применяя кодирование на основе преобразования, шум квантования, как правило, принимают таким, каков он есть. Тем не менее, поскольку между коэффициентами существуют корреляционные связи, можно снизить шум квантования, прибегнув к процедуре типа интерполяции спектра [39].

 

Экстраполяция спектра

 

На рис. 23.3.1 показана диаграмма, поясняющая процесс зонального кодирования с восстановлением изображения посредством экстраполяции спектра. В результате зонального кодирования вектор , соответствующий исходному изображению, преобразуется с помощью унитарной матрицы  в вектор, составляющими которого являются коэффициенты преобразования. Умножение полученного вектора  на выделяющую матрицу  размера   дает усеченный вектор  коэффициентов размера . Декодер производит умножение вектора  на матрицу , в результате чего происходит приближенное восстановление отсеченных коэффициентов. Затем с помощью обратного унитарного преобразования  получается оценка  исходного вектора . Восстанавливающая матрица  выбирается так, чтобы минимизировать среднеквадратическое отклонение вектора  от вектора .

Рис. 23.3.1. Последовательность операций при экстраполяции спектра.

Для отыскания оптимальной матрицы  следует потребовать, чтобы в среднем для различных изображений отклонение  было ортогонально усеченному вектору. Таким образом, полагая

                                              (23.3.1)

находим, что

                           (23.3.2)

Отсюда сразу же следует оптимальное решение

                    (23.3.3)

при условии, что фигурирующая здесь обратная матрица существует. Как показывает изучение строения матрицы , ее роль при формировании вектора  сводится к копированию всех отобранных составляющих вектора , в то время как другие составляющие вектора  восстанавливаются в виде линейных комбинаций составляющих вектора. По существу восстанавливающая матрица на основании значений известных коэффициентов спектра производит линейную экстраполяцию для определения неизвестных коэффициентов. Общепринятый способ действий, состоящий просто в замене отсеченных коэффициентов нулями перед выполнением обратного преобразования, можно рассматривать в соответствии с формулой (23.2.5) как другую форму экстраполяции, получаемую умножением  на .

Среднеквадратическая ошибка, получаемая в результате применения оптимальной восстанавливающей матрицы (23.3.3), вычисляется как

                   (23.3.4)

Рис. 23.3.2. Снижение среднеквадратической ошибки посредством экстраполяции спектра в случаях преобразований Хаара (а) и Адамара (б), примененных к марковскому процессу с коэффициентом корреляции . Кодирование с сохранением первых 8 из общего числа 32 коэффициентов преобразования.

Графики на рис. 23.3.2 показывают среднеквадратическую ошибку оценки составляющих спектра в случаях преобразований Хаара и Адамара. В этих примерах предполагается, что кодированию подвергается марковский процесс первого порядка с коэффициентом корреляции . Эффективность экстраполяции спектра в процессе кодирования изображений изучалась также с помощью цифрового моделирования. Результаты этих экспериментов приведены на рис. 23.3.3. Исходное изображение, показанное на рис. 23.3.3, а, разделялось на блоки размером 16x16 элементов, подвергавшиеся преобразованию Адамара. Замена всех коэффициентов преобразования, находящихся за пределами низкочастотной зоны размером 5x5, нулями перед обратным преобразованием приводила к изображению, показанному на рис. 23.3.3, б. Результат восполнения коэффициентов за пределами этой зоны посредством экстраполяции в предположении, что изображение представляет собой реализацию двумерного марковского процесса первого порядка, показан на рис. 23.3.3, в. Фотоснимки демонстрируют повышение субъективного качества изображений в результате экстраполяции спектра.

Рис. 23.3.3. Примеры кодирования на основе преобразования Адамара с экстраполяцией спектра: а — оригинал; б — зональный отбор с сохранением  общего количества отсчетов, без экстраполяции; в — с применением экстраполяции; г — зональный отбор с сохранением  общего количества отсчетов, без экстраполяции; д — с применением экстраполяции.

 

Интерполяция спектра

 

Используя переменную шкалу квантования для различных коэффициентов преобразования, образующих вектор , каждый коэффициент кодируют отдельно. Формируемый в результате вектор  кодовых комбинаций определяет ячейку квантования. Такой же поэлементный характер носит обычно и процесс восстановления коэффициентов — -я кодовая комбинация  определяет -ю компоненту вектора . В случае интерполяции спектра к восстановлению вектора  по вектору  подходят с точки зрения векторного (многомерного) квантования, описанного в разд. 6.2. Сначала, исходя из набора одномерных интервалов, указанных вектором , определяют ячейку квантования  в -мерном пространстве коэффициентов преобразования. Затем определяют восстанавливаемый вектор коэффициентов  путем решения уравнения

           (23.3.5)

где  — совместная плотность распределения вероятностей коэффициентов преобразования. За исключением ряда специальных случаев, решение уравнения (23.3.5) связано с большими трудностями. Приближенное решение в замкнутой форме может быть получено в случае гауссовой совместной плотности распределения при условии, что квантование производится не слишком грубо [40]. Рекуррентная процедура приближенного решения для того же гауссового случая, но с произвольными шкалами квантования была разработана Хунсом [39].