15.2. КОРРЕКЦИЯ ОШИБОК ИНТЕРПОЛЯЦИИ

В большинстве воспроизводящих изображения дисплеев затруднительно формировать и поддерживать с большой точностью параметры апертуры (пятна). Следовательно, на практике редко удается обеспечить оптимальную интерполяцию отсчетов дискретизованного изображения. Однако во многих случаях ошибки интерполяции, вносимые дисплеем, удается скомпенсировать посредством цифровой обработки. Реставрации поддаются также многие плохо интерполированные изображения, записанные фотографическими или электронными методами.

В разд. 13.5 приведены некоторые модели интерполяции, производимой при воспроизведении изображений. Интерполированное непрерывное изображение можно описать функцией

,      (15.2.1)

где  - массив отсчетов изображения,  - шаг дискретизации,  - интерполирующая функция дисплея, которая предполагается пространственно-инвариантной. Желаемое интерполированное изображение описывается функцией

,  (15.2.2)

где  - желаемая интерполируемая функция. Если  образована двумя двумерными -функциями,  будет идеальным представлением исходного изображения (если не считать ошибки усечения вследствие конечности разложения); при этом предполагается, что массив отсчетов  был получен с использованием частоты дискретизации Найквиста.

Непрерывные поля  и  можно сравнить, изучая их соответствующие отсчеты, расположенные в узлах решетки с шагом . Согласно выражениям (13.5.4) и (13.5.5), обозначим через

,         (15.2.3)

      (15.2.4)

векторные представления получаемых массивов отсчетов, где  и  - матрицы, элементами которых являются отсчеты  и  соответственно. Например, при использовании одномерной интерполирующей функции с пятью отсчетами и  интерполирующая матрица имеет вид

.            (15.2.5)

Каждый столбец  содержит значения отсчетов , расположенных с шагом .

Векторные соотношения (15.2.3) и (15.2.4) указывают на принципиальную возможность исправления ошибок, обусловленных несовершенством системы интерполирующих функций , посредством линейного преобразования массива отсчетов  с помощью оператора  перед интерполяцией. Ошибку по критерию наименьших квадратов, выражающую различие между  и , минимизирует оператор обобщенного обращения , где  - обобщенная  обратная матрица для . Преобразование без ошибок возможно лишь в том случае, когда число строк матрицы  меньше или равно числу его столбцов. Если интерполированное поле  измеряется только в точках, разделенных интервалом Найквиста , то матрица  является квадратной, а оператор  обеспечивает идеальную интерполяцию в точках расположения отсчетов изображения при условии существования . Результаты измерений на интервалах между отсчетами предсказать невозможно.

Чрезвычайно большой размер матрицы  делает практически невозможным ее прямое обращение или псевдообращение. В случае квадратных матриц это затруднение можно обойти, сделав  блочно-циклической матрицей [3]. В рассмотренном одномерном примере матрицу (15.2.5) легко обратить в циклическую матрицу

.           (15.2.6)

Таким же образом можно сформировать циклическую матрицу  из матрицы . Поскольку  и  - циклические матрицы, оператор  также является циклическим. Это позволяет воспользоваться методами, описанными в гл. 11, и осуществить реставрацию в Фурье-области.