15.3. КОРРЕКЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИСКАЖЕНИЙ

Многие изображающие системы вносят геометрические искажения. Рис. 15.3.1 иллюстрирует подушкообразную и бочкообразную дисторсию, часто возникающую в видиконных телекамерах и дисплеях с кинескопом.

Рис. 15.3.1. Примеры геометрических искажений изображения: а – искажения отсутствуют; б – подушкообразная дисторсия; в – бочкообразная дисторсия.

Один из возможных способов коррекции подобных искажений сводится к такому нелинейному предыскажению растра при развертке изображения, которое обеспечивает компенсацию ожидаемых искажений. Возможна также апостериорная коррекция, основанная на полиноминальной аппроксимации каждой горизонтальной и вертикальной линии искаженного растра; данные аппроксимации используются затем для вычисления обратных корректирующих функций для каждой ячейки сетки [4]. Метод пространственного искривления позволяет также корректировать перспективные искажения. Изображение протяженного объекта, наблюдаемого сбоку, можно искривить таким образом, что будет получено изображение, соответствующее наблюдению этого объекта под прямым углом. Другое важное применение этого метода – спрямление парных изображений одной и той же сцены, полученных при разных углах наблюдения.

Рис. 15.3.2. Коррекция геометрических искажений методом пространственного искривления.

Рис. 15.3.2 иллюстрирует идею пространственного искривления как метода коррекции пространственных искажений, вносимых изображающей системой. В идеальное изображение вносится пространственное геометрическое искажение, которое можно описать отображением точки  идеального изображения в точку  наблюдаемого изображения в соответствии с выражениями

,                 (15.3.1а)

,                  (15.3.1б)

где  и  - монотонные отображающие функции общего вида. На рис. 15.3.2 точками показаны элементы наблюдаемого изображения, соответствующие целочисленным значениям координат точки . Скорректированные элементы изображения, показанные крестами, получены в результате корректирующего пространственного искривления (отображения) массива наблюдаемых элементов изображения, помеченных звездочками; в общем случае значения элементов со звездочкой не совпадают со значениями наблюдаемых элементов. Процедуру корректирующего искривления можно разбить на два этапа. Сначала определяют координаты точки , которая отображается в точку размещения скорректированного элемента изображения. Затем находят оценку яркости изображения в точке , интерполируя значения яркости соседних наблюдаемых элементов, и приписывают полученную оценку скорректированному элементу изображения.

Если функции пространственных искажений  и  известны, то координаты  можно вычислить непосредственно по формулам (15.3.1), подставляя в них координаты , где  и  - целые числа. Как правило, такая информация отсутствует, поэтому необходимо пользоваться некоторой математической моделью реальных искажений. Часто применяют полиномиальные модели. В качестве примера рассмотрим оценку пространственного искажения в виде полинома второго порядка:

,          (15.3.2а)

,             (15.3.2б)

где  и  - постоянные коэффициенты. Эти коэффициенты обычно выбирают таким образом, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку аппроксимации фактически наблюдаемых координат  их полиноминальной оценкой  для набора известных точек , называемых узлами . Координаты в плоскости наблюдаемого изображения удобно выразить в виде векторов

,                  (15.3.3а)

.                    (15.3.3б)

Аналогично коэффициенты полиномов можно представить в векторной форме:

,                      (15.3.4а)

.                 (15.3.4б)

Теперь среднеквадратическую ошибку оценивания можно записать в компактной форме:

,           (15.3.5)

где

.          (15.3.6)

В гл. 8 было показано, что ошибка минимальна при

,          (15.3.7а)

,            (15.3.7б)

где  - обобщенная обратная матрица для . Если число узлов превышает число полиноминальных коэффициентов, то

.                       (15.3.8)

Пользуясь этой методикой, можно без труда вычислить коэффициенты , , а затем по формулам (15.3.2) определить в плоскости наблюдаемого изображения координаты всех точек (звездочки на рис. 15.3.2), отображаемых в точки с целочисленными координатами, которые соответствуют скорректированным элементам изображения (кресты на рис. 15.3.2).

Теперь, зная координаты  в плоскости наблюдаемого изображения и уровни яркости наблюдаемых элементов, нужно оценить уровень яркости элемента с координатами  в плоскости скорректированного изображения. Эту задачу можно решить методом интерполяции. Согласно формуле (4.1.9), интерполированное непрерывное изображение в плоскости наблюдаемого изображения можно описать функцией

,         (15.3.9)

где  - интерполирующая функция,  - шаг дискретизации. Оценка скорректированного изображения запишется так

,               (15.3.10)

где  - нецелочисленный индекс интерполированного элемента. Теоретически оптимальную интерполяцию обеспечивают - функции или функции Бесселя. На практике, однако, обычно пользуются интерполирующими функциями, реализация которых сопряжена с меньшими трудностями. Это прямоугольные, треугольные и -сплайн функции, рассмотренные в разд. 4.3. В некоторых системах с пространственным искривлением используют даже интерполяцию по окрестности элемента изображения.