15.6. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СПЕКТРА

Инверсный фильтр, предназначенный для реставрации изображений, имеет частотную характеристику

,             (15.6.1)

где  - частотная характеристика изображающей системы с учетом пространственных искажений. В гл. 14 было показано, что осуществление такого фильтра часто оказывается затруднительным вследствие недопустимого увеличения шума в области высоких пространственных частот, где частотная характеристика искажений имеет малое значение. Более того, в любой реальной изображающей системе частотная характеристика  принимает нулевое значение вне некоторой области , где  - постоянная, поскольку такая система является дифракционно-ограниченной. Поэтому создается впечатление, что инверсная фильтрация позволяет реставрировать составляющие изображения только в области пропускания изображающей системы, даже если шум отсутствует. Предположим, однако, что функция , описывающая идеальное изображение, ограничена по координатам , . Спектр  должен быть неограниченным. Поскольку спектр идеального изображения является аналитической функцией, существует принципиальная возможность его однозначного продолжения за границы области пропускания изображающей системы, если он определен внутри этой области. Подвергая продолженный' спектр обратному преобразованию Фурье, получают восстановленное изображение, соответствующее разрешению сверх дифракционного предела. Это и есть основная концепция «сверхразрешения» как метода повышения четкости изображения [12-15].

Один из возможных способов аналитического продолжения спектра изображения за дифракционный предел основан на применении сфероидальных волновых функций [16]. В одномерном случае эти функции обладают следующими свойствами. При заданных  и  существует счетное бесконечное множество действительных функций (собственных функций)  и соответствующее множество действительных чисел (собственных значений) , такие, что

1) спектр Фурье функций  тождественно равен нулю при ;

2) функции  ортонормальны на действительной оси:

;                                (15.6.2)

3) функции  ортонормальны на интервале - :

;                 (15.6.3)

4) для всех значений

.     (15.6.4)

Сфероидальные волновые функции  являются функциями произведения , где  - временной интервал и  - граничная частота полосы пропускания.

Рис. 15.6.1. Сфероидальные волновые функции.

Рис. 15.6.1 иллюстрирует вид нескольких сфероидальных волновых функций. Предположим, что идеальное изображение имеет ограниченный размер, т. е.

 при  или , (15.6.5)

где  - постоянная. Пусть  - двумерный спектр Фурье функции , известный в некоторой области пропускания:

,                   (15.6.6а)

.                  (15.6.6б)

Разложив  по системе спектральных сфероидальных волновых функций с переменными в виде пространственных частот, получим

           (15.6.7)

для всех , . Умножим обе части равенства (15.6.7) на  и проинтегрируем результат в пределах области пропускания. В результате получим выражение вида

                (15.6.8)

Правая часть равенства (15.6.8) в силу (15.6.3) переходит в

. (15.6.9)

Следовательно,

. (15.6.10)

Поскольку спектр  в области пропускания определен, подстановка сфероидальных волновых функций и их собственных значений в (15.6.10) дает коэффициенты . Эти коэффициенты теперь можно подставить в формулу (15.6.7)  и определить искомое разложение  для всех , .

Метод аналитического продолжения спектра теоретически возможен, однако его трудно реализовать по следующим трем основным причинам:

1. Вычисление сфероидальных волновых функций и их собственных значений с высокой точностью, соответствующей достаточно большим произведениям протяженности этих функций на граничную частоту, сопряжено с большими трудностями.

2. Разложение (15.6.7), обеспечивающее аналитическое продолжение, удается вычислить лишь приближенно, т. е. с конечным числом членов, что связано с ошибками усечения.

3. Спектр, измеряемый в области пропускания изображающей системы и подставляемый в формулу (15.6.10) для нахождения коэффициентов разложения , фактически состоит из двух составляющих – спектра изображения и шумового спектра; таким образом, вычисление коэффициентов  никогда не бывает абсолютно точным.

Главным препятствием на пути реализации процедуры аналитического продолжения всегда была и остается проблема шума. Расчеты показывают [15], что для аналитического продолжения спектра за дифракционный предел с восстановлением всего нескольких пространственных частот требуется, чтобы отношение видеосигнал/шум было больше 1000:1. До сих пор было проведено лишь несколько машинных экспериментов с одномерными сигналами [13, 14].