17.4.3. МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ПЕРЕПАДОВ ЯРКОСТИ

Идеальные перепады можно рассматривать как одно- или двумерные сигналы, имеющие форму ступеньки (рис. 17.4.1). Тогда фрагмент реального изображения можно аппроксимировать идеальным перепадом, меняя его параметры. Если такую аппроксимацию удается сделать достаточно точно в данном месте изображения, то считается, что в этом месте имеется перепад с найденными параметрами. В случае одномерного перепада, представленного на рис. 17.4.14, а, функция наблюдаемого изображения  аппроксимируется ступенчатой функцией

                            (17.4.18)

Рис. 17.4.14. Аппроксимация одномерного (а) и двумерного (б) перепадов.

Считается, что перепад существует, если среднеквадратическая ошибка аппроксимации

                      (17.4.19)

ниже некоторого порогового значения. Двумерный идеальный ступенчатый перепад определяется как

          (17.4.20)

где  и  - полярные координаты точки перепада, ближайшей к центру исследуемой круговой области. Ошибка аппроксимации вычисляется по формуле

.                   (17.4.21)

Рис. 17.4.15. Пример выделения перепадов с помощью оператора Хюккеля [21].

Хюккель [20] разработал процедуру аппроксимации двумерного перепада, при которой фрагмент изображения, оказавшийся внутри круга (рис. 17.4.14, б), раскладывается по набору двумерных базисных функций в ряд Фурье в полярных координатах. Пусть  - базисные функции. Тогда коэффициенты разложения для изображения и идеального ступенчатого перепада будут иметь вид

,             (17.4.22а)

.              (17.4.22б)

Следует отметить, что  определяется в параметрической форме в виде набора параметров . В алгоритме Хюккеля разложение ограничено восемью базисными функциями с целью сокращения объема вычислений и обеспечения некоторого сглаживания шума. Минимизация среднеквадратического отклонения (17.4.21) эквивалентна минимизации величины  для всех коэффициентов. Хюккель осуществил минимизацию, прибегнув к некоторым упрощениям, и вывел систему нелинейных уравнений, посредством которых параметры перепада  выражаются через коэффициенты . После минимизации проводится сравнение функции , описывающей исходное изображение, с ее аппроксимацией. Если результаты сравнения оказываются неудовлетворительными, то считается, что в данной окрестности перепада нет. Если же аппроксимация достаточно точна, то значение найденного контраста  сравнивается с заданным порогом.

Сложность алгоритма Хюккеля затрудняет его теоретический анализ. Однако данные экспериментов показывают, что оператор Хюккеля работает достаточно хорошо в качестве детектора перепадов даже на зашумленных изображениях и изображениях с сильно выраженной текстурой [21]. Рис. 17.4.15 иллюстрирует обнаружение перепадов при помощи алгоритма Хюккеля.