19.5.1. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ПРИВЯЗКА
Классический способ взаимной привязки (совмещение) пары функций состоит в том, что формируется величина, измеряющая корреляцию между этими функциями, и находится положение максимума функции корреляции [16, 17]. Рассмотрим применение этого способа в случае двух измерений. Пусть массивы
и
представляют два дискретных изображения, которые требуется привязать друг к другу. В простейшей форме мера корреляции определяется следующим образом:
, (19.5.1)
где
- индексы элементов в окне
размером
элементов, которое расположено внутри зоны поиска
размером
элементов. Рис. 19.5.1 иллюстрирует соотношение между зоной поиска и окном. Вообще, функцию корреляции требуется вычислить для всех
возможных смещений окна в зоне поиска для того, чтобы определить ее максимальное значение и получить оценку ошибки совмещения.

Рис. 19.5.1. Зона поиска при корреляционной привязке и площадь окна.
Применение этой простой меры корреляции связано с двумя основными трудностями. Во-первых, функция корреляции может иметь довольно размытый максимум, что затрудняет его обнаружение. Следует отметить, что мера корреляции (19.5.1) не учитывает пространственную структуру сравниваемых изображений. Во-вторых, шум на изображении может скрыть максимум корреляции. Обе трудности можно преодолеть, улучшив меру корреляции таким образом, чтобы в ней учитывались статистические свойства изображений
и
.
Улучшенная мера корреляции определяется как
, (19.5.2)
где массивы
получаются сверткой массивов, описывающих изображения, с функциями
, представляющими собой импульсные характеристики пространственных фильтров:
. (19.5.3)
Импульсные характеристики выбираются так, чтобы максимизировать пиковую корреляцию в том случае, когда сравниваемые изображения совмещены наилучшим образом. Эти характеристики можно получить с помощью теории согласованной фильтрации дискретных массивов, развитой в предыдущем разделе. Пусть
- вектор, полученный разверткой по столбцам фрагмента
, соответствующего окну, а вектор
составлен из элементов фрагмента
при заданном сдвиге
. Полное число различных векторов
составляет
. Элементы векторов
и
обычно сильно коррелированы. Поэтому в соответствии с методом согласованной фильтрации случайных полей первый шаг обработки должен состоять в «отбеливании», т. е. в умножении этих векторов на матрицы отбеливающих фильтров
и
:
, (19.5.4а)
. (19.5.4б)
Матрицы
и
определяются через ковариационные матрицы изображений
, (19.5.5а)
. (19.5.5б)
Матрицы
и
можно представить в следующем виде:
, (19.5.6а)
, (19.5.6б)
где матрицы
и
образованы из собственных векторов ковариационных матриц
и
, а
и
- диагональные матрицы из их собственных значений.
Мера корреляции (19.5.2) записывается в виде нормированного скалярного произведения
. (19.5.7а)
Можно показать, что возможно другое представление этой меры:
, (19.5.7б)
где
. Используя формулу (19.5.7а) надо производить «отбеливание» вектора
и всех
векторов
, тогда как формула (19.5.76) требует лишь одного умножения вектора
на матрицу
. Ясно, что вторая формула предпочтительнее первой, если все вычисления выполняются обычными средствами.
Чтобы найти матрицы
, необходимо вычислить два набора собственных векторов и собственных значений ковариационных матриц двух сравниваемых изображений в пределах окна. Если окно содержит
элементов, то каждая из ковариационных матриц
и
будет иметь размер
. Например, если
, то ковариационные матрицы
и
будут иметь размер
. Вообще вычисление собственных векторов и собственных значений для таких больших матриц оказывается трудоемкой задачей для всех вычислительных машин, за исключением самых мощных. Однако в особых случаях эти вычисления можно заметно упростить [14]. Например, если изображения моделируются реализациями разделимого марковского процесса и отсутствует шум, то свертка (19.5.3) сводится к свертке изображения с маской обнаружения перепадов (17.4.6), когда
, (19.5.8)
где
- коэффициент корреляции смежных элементов изображения. Если оба изображения пространственно некоррелированы, то
и операции свертки не требуются. В другом предельном случае когда
,
. (19.5.9)
Этот оператор представляет собой один из видов оператора Лапласа. Таким образом, когда изображения сильно коррелированы, вычисление улучшенной меры корреляции (19.5.2) сводится к обычной корреляции контурных изображений двух сцен.

Рис. 19.5.2. Графики зависимости улучшенной меры корреляции изображений от величины сдвига.
На рис. 19.5.2 приведены результаты моделирования на вычислительной машине совмещения изображений естественных сцен с использованием улучшенной меры корреляции (19.5.7а). При моделировании изображение танка было смещено по горизонтали на три элемента и по вертикали на четыре элемента. Затем была вычислена мера корреляции этой пары изображений в окне размером
элементов для зоны поиска размером
элемента. На рис. 19.5.2 представлены кривые нормированной меры корреляции. Следует заметить, что при
(что соответствует обычной корреляции) довольно трудно различить пик величины
. При
или больше
имеет четкий пик в точке, соответствующей правильному положению объекта.