Предисловие автора к первому изданию

В эпоху, когда элита делает науку своим советчиком, а массы обращаются к магии, можно ли, не уклоняясь от истины, говорить, что наука абсолютно объективна? Во многих научных областях это положение оценивается более осторожно. Конечно, объективное знание должно быть целью человеческой эволюции, но при этом и ученому, и инженеру должна быть присуща постоянная скромность; окружающую нас реальность мы познаем только посредством нами же созданных моделей, представлений и более или менее истинных законов и приближений, приемлемых при данном состоянии наших знаний. Одна и та же модель одного и того же явления разными людьми воспринимается по-разному: формула может оставаться неизменной, но интерпретации ее могут быть различными. Мир воспринимается с помощью моделей, совершенствующих друг друга и увязываемых между собой до тех пор, пока не происходит революция в идеях, прекращающая такое объединение моделей.

Наши модели - нечеткие; наши мысли, сформированные на основе более или менее независимых моделей, - нечеткие; мы так отличаемся от компьютера! Компьютер - это логически последовательная машина, которая по самой своей природе не может делать теоретических ошибок; он, по определению, не может быть нечеткой машиной. Но человек, помимо способности рассуждать и логически мыслить, обладает, как все живые существа, способностью принимать в расчет параллельно соображения как общего, так и сопутствующего характера. Эти общие или привходящие соображения в противоположность логическому рассуждению являются нечеткими и должны быть нечеткими. Живое существо, наделенное инициативой, воспринимает и обрабатывает более или менее нечеткую информацию и своевременно приспосабливается к ней. Когда живое существо почти не имеет возможности проявить инициативу, когда его функциональная энтропия почти равна нулю, тогда нечеткость может исчезнуть и его действия становятся предопределенными. Биологическая клетка функционирует как маленький компьютер, управляющий маленькой фабрикой (слово «маленький» относится здесь к размеру, а не к сложности); в этой системе почти нет энтропии. Человек, наоборот, обладает огромной функциональной энтропией; он может выбирать, решать, эволюционировать, допускать и устранять ошибки, начинать сначала, понимать не все, формировать свои знания в процессе научных изысканий по формальной программе.

Как концептуально объединить общие соображения с логическим рассуждением; как связать то, что является физической истиной, с тем, что представляет собой интерпретацию человеческой мысли? Как ввести нечеткость в математику, поскольку в конечном счете именно в такой наиболее ясной математической форме следует выразить эту, на первый взгляд, странную взаимосвязь?

Что означает слово «нечеткий» или синонимичные ему слова для математика? Это значит, что некий элемент принадлежит подмножеству, но только несколько неопределенным образом. Но, с другой стороны, мы знаем, что в математике есть только две приемлемые ситуации для элемента: он может либо быть, либо не быть элементом подмножества. Любая формальная логика, в том числе булева, основана на этом: элемент принадлежит или не принадлежит подмножеству данного множества.

Заслуга Л. А. Заде состоит в попытке выйти из этого тупика путем введения понятия взвешенной принадлежности. Элемент может принадлежать подмножеству в большей или меньшей степени, и отсюда появляется основное понятие - понятие нечеткого подмножества.

С совершенно другой позиции, на основе -местной логики, Пост (1921), Лукашевич (1937) и Мойзил (1940) разработали общие теории, в которых могут найти место некоторые аспекты теории нечетких множеств. Фактически сошлись два научных направления, две школы, одна - во главе с американцем Заде, вторая - с итальянцем Мойзилом.

Выступая на различных конференциях на тему о теории нечетких подмножеств, я всегда слышу одни и те же слова: «То, что было сделано с помощью этой теории, можно с таким же успехом сделать и без нее». Да, но это относится и к любой другой теории. Я помню, что столкнулся с такой позицией 20 лет назад, когда с одним из своих друзей писал одну из первых работ по матричному исчислению; то же говорили и о тензорном исчислении. Этой критике подверглась в свое время теория графов, современная прикладная математика и многие другие теории. Возможно, что те, кто так говорят, не понимают, где и как используется математика, более или менее независимо от того факта, что она представляет собой науку в чистом виде, т. е. науку наук. Математика - это средство познания мира с помощью логических моделей; ее практическая сила состоит в способности давать объяснение; модели дают нам структуры, и числа, которые представляют собой полностью упорядоченные структуры, - это лишь небольшой, частный, но очень удобный пример из бесконечного множества структур.

Теория нечетких подмножеств позволяет наилучшим образом структурировать все то, что разделено не очень точными границами, например мысль, язык и восприятие у людей. Общественные науки наполнены всеми видами абстрактных и конкретных форм; но и науки, называемые точными, могут иметь дело с ситуациями, в которых неопределенность заложена самой природой вещей. Поэтому эта относительно новая теория полезна и важна; ею следует заинтересоваться ученым разных областей, а также литераторам и художникам - всем, кто воссоздает действительность и красоту с неизбежной нечеткостью, которая позволяет отразить все нюансы и стимулирует воображение и которую можно назвать энтропией мышления.

Я сделал все возможное, чтобы эта работа была доступна обычным читателям моих работ: инженерам, конструкторам, профессорам, студентам, администраторам, людям, принимающим решения. Теория отнюдь не всегда проста. Мои педагогические усилия будут вознаграждены, если эта книга, собравшая воедино работы различных авторов и результаты, полученные мною лично, побудит читателя опубликовать свои работы на указанную тему, будь то прикладные результаты или новые идеи. Я попросил профессора Заде написать предисловие к книге; его поддержка и одобрение очень важны для инженера-математика и автора этого скромного труда.

Как и все остальные мои книги, эта книга дидактическая: я везде ввожу примеры. Этот дидактический материал представляется мне необходимым для читателя, который может заинтересоваться книгой, - десятков тысяч инженеров всего мира. Они имеют хорошую подготовку и навыки в применении математики и оценят настоящую работу. Конечно, это делает текст несколько тяжеловатым, и любой профессиональный математик, который прочтет книгу, найдет ее растянутой. Математик ценит красоту решения, а инженера, даже если он чувствителен к элегантности, волнует не только математическая ясность - перед ним стоят и другие задачи.

Мой опыт преподавания более чем в сорока странах, в которых мне предоставили возможность побывать международные организации и университеты, и мой опыт автора побуждает продолжать идти по этому дидактическому пути, цель которого в том, чтобы знания других приобретались с помощью их собственных исследовательских усилий, и те упущения, которые часто являются следствием таких намерений, можно простить.

Конечно, понятие нечеткости можно рассматривать с различных точек зрения: применительно к описанию переменных или их значений, к конфигурациям или в более общем виде - на концептуальном уровне. Настоящая теория ограничивается переменными и конфигурациями, но уже можно предвидеть, как подойти к концептуальному аспекту; конечно, при этом потребуется преодолеть определенные трудности. Основные вопросы, касающиеся концептуальной нечеткости, возникают не только в гуманитарных науках, но даже (и наиболее остро) в биологии. Как описать механизм, где почти все зависит почти от всего, где мельчайший элемент играет свою роль, где все основано на информации, на сообщениях и зависит от способа обработки этих сообщений? Теория нечетких подмножеств - только один из ограниченных способов, помогающих разобраться в этом; будущее покажет, может ли она стать достаточно большой и интересной основой для исследования таких проблем или это только временный способ обработки неопределенности, или всего лишь некоторого аспекта неопределенности. Конечно, эта теория - только часть того, что будет сделано в будущем. Не исключено, что лучше было бы начинать с изучения более общей и многообещающей теории неопределенности. Мы же начнем с наступления на элементарный аспект нечеткости, касающийся переменных и структур, - это будет уже шаг вперед. С концептуальной нечеткостью сталкиваются столько различных специалистов - экономисты, лингвисты, специалисты по теории информации, биологи, психологи, социологи и другие, что мы смело можем двинуться вперед. Здесь так же, как и в промежуточных дисциплинах, предстоит много работы. Я оптимист по отношению к этому предмету, но как все те, кто глубоко увлечен такими исследованиями, считаю, что оптимизм должен сопровождаться осмотрительностью и терпением.

В предисловии следует особо обсудить важный вопрос: можно ли будет решать эти проблемы на компьютерах - последовательных машинах, использующих бинарную логику. Ответ, как мы увидим, утвердительный, но лишь при условии, что будет разработано новое аппаратурное оборудование и новое программное обеспечение. По мере того как конструкторы станут включать в новые классы компьютеров (что, вероятно, произойдет довольно скоро) нечеткие логические схемы (как плохо подходят эти слова друг к другу, мы объясним позднее), содержащие бинарные логические элементы или полу--значные логики, или степенные логики, изменятся и некоторые привычные представления у аналитиков и программистов. Становится все более очевидной необходимость того, чтобы диалог человека с машиной стал доступен каждому и не нужно было бы прибегать к посредничеству формальных языков или хотя бы к упрощенному программированию. И язык человека, и его мысли - нечеткие или/и логические. Между человеком и компьютером на всех промежуточных стадиях, включающих конечные автоматы всех видов, нужно организовать лучшую связь. Поэтому, не рискуя сильно ошибиться, можно предсказать, что технология будет развиваться по пути, сближающем идеи компьютерного и обычного человеческого мышления в ожидании того дня, когда компьютеры начнут обрабатывать общую информацию принципиально параллельно, без предварительной последовательной обработки. Тогда эти машины, которые можно назвать комбинированными или параллельными процессорами, позволят обрабатывать нечеткости с помощью нечеткостей, а не с помощью пусть даже сверхминиатюрных компьютеров, основанных на бинарной логике. Сегодняшняя утопия станет реальностью в ближайшие десятилетия. Искусственный интеллект, каким его можно было представлять до сих пор, будет реализован на основе самонастраивающихся программ для компьютеров, и приблизится к человеческому разуму (но будет ли им?).

Отметим еще одну деталь. Почему мы используем термин «нечеткое подмножество» вместо «нечеткое множество»? Это объясняется тем, что нечеткое множество никогда не будет понятием, соответствующим настоящей теории; если говорить о множестве, то оно всегда будет обычным множеством, т. е. таким, каким оно определяется интуитивно в современной математике, - совокупностью хорошо определенных четких объектов. И только подмножества, как мы увидим, будут нечеткими. Я не упрямый и суровый бурбакист: те, кто читал хотя бы одну из моих книг, знает это хорошо, но есть некоторые определения, которые не должны быть нечеткими, и есть моменты, когда очень удобно быть хоть немного похожим на Бурбаки.

Том I составляет первую часть работы и содержит теоретические основы. Том II будет содержать следующие основные приложения: нечеткие языки, нечеткие системы, нечеткие автоматы, нечеткие алгоритмы, машины и управление, проблемы принятия решений в нечетких условиях, распознавание образов, проблемы классификации и выбора, документальный поиск и т. д. Этот том будет написан в таком же дидактическом духе с многочисленными примерами и с подробным обзором основных сведений по каждому затрагиваемому вопросу. До выхода тома II читателям предлагается библиография статей, в которых рассматриваются первые практические приложения.

Некоторые ученые сотрудничали со мной при подготовке настоящей рукописи и сделали ряд конструктивных критических замечаний. Среди них: мадам Моник Пето, господа Мишель Куль и Тьери Дюбуа, занимающиеся исследованиями в Центре IMAGO Лувенского Университета; Этьен Пиша, профессор в Институте промышленной информатики, Национальной консерватории искусств и ремесел; Жюль Каи, старший научный консультант в фирме «Хонуел Балл»; Комб, инженер той же фирмы; Арно Анри-Лабордер, доцент Национальной школы мостов и дорог в Париже.

Мой сын Алан, как обычно, занимался правкой. Он медик и думает так же, как и другие, что медицина - это одновременно искусство и наука и что математика, как и информатика, - ценные инструменты, которыми придется пользоваться в ближайшем будущем.

Интуитивно верно, но несколько претенциозно утверждать, что человеческий ум далеко не простой механизм, сводимый к более или менее сложным программам: Курт Гедель продемонстрировал это формально; так давайте примирим наше стремление к точности и воображение. И поскольку ни сегодня, ни завтра мы не сможем создать программы всех программ, то мы так и останемся нечеткими и созидательными.