1.8. Комплексное представление сигналов и помех

Ранее было изучено представление детерминированных сигналов рядами ортогональных функций. Такая модель оказывается особенно полезной при анализе прохождения сигналов через линейные радиотехнический устройства.

Вместе с тем при анализе нелинейных преобразований сигналов и, в частности, модуляции и демодуляции, требуется иной подход. Этот подход основывается на понятии аналитического сигнала.

 

1.8.1. Понятие аналитического сигнала

Многие формулы гармонического анализа записываются значительно проще и некоторые задачи решаются легче, если использовать в качестве элементарных функций не обычные действительные синусоиды, а экспоненциальные функции мнимого аргумента. Действительно, по формуле Эйлера [6, 21]:

.

(1.50)

Этой записи можно дать геометрическую трактовку, пользуясь представлением комплексных чисел в виде точек или векторов на плоскости.

Выражение  представляет в данном случае вектор единичной длины, проведенный под углом  к действительной оси (рис.1.22). При изменении времени  этот вектор, единичной длины, меняет положение, вращаясь в положительном направлении с угловой скоростью .

Изобразить синусоиду в форме (1.50), это значит представить ее суммой двух векторов, длина каждого из которых равна , расположенных в любой момент времени симметрично относительно действительной оси и вращающихся в разных направлениях с угловыми скоростями  и  (рис.1.23).

В момент  они занимают положения под углами  и  относительно действительной оси. Геометрическая сумма векторов всегда совпадает по направлению с действительной осью и представляет действительную функцию времени .

При представлении косинусоиды в виде  можно ограничиться одним вращающимся в положительном направлении вектором и представить косинусоиду его проекцией на действительную ось.

В этом случае нет необходимости вводить отрицательные частоты. Длина вектора представляет амплитуду косинусоиды, а угол, образуемый им в данный момент с действительной осью, - полную фазу .

Проекция этого вектора на мнимую ось равна , т.е. представляет ту же косинусоиду, сдвинутую по фазе на  (рис. 1.24).

Многие сигналы в системах электросвязи можно представлять в виде:

,

(1.51)

т.е. как «квазигармоническую» функцию с переменными «амплитудой» и «начальной фазой». Такой  сигнал можно интерпретировать геометрически как проекцию на действительную ось вращающегося вектора, но при  этом изменяющего свою длину и угловую скорость. Для описания свойств сигнала представленного в форме (1.51) вводят понятие комплексного аналитического сигнала.

Рассмотрим отрезок сигнала на некотором интервале времени .

Его можно представить на этом интервале рядом Фурье в экспоненциальной форме [6, 21]:

.

(1.52)

Пользуясь геометрическим представлением синусоиды, можно представить сигнал  в виде суммы вращающихся векторов, каждый из которых имеет вид:

.

Векторы с индексами  вращаются в положительном направлении, а с  в отрицательном. Пара таких векторов с индексами  и  образует одну действительную косинусоиду.

Поэтому предполагая среднее состояние сигнала нулевым ()косинусоида может быть представлена проекцией на действительную ось одного вектора, вращающегося, например, в положительном направлении. Вместо (1.68) можно взять проекцию (т.е. действительную часть) суммы векторов, вращающихся только в положительном направлении, увеличив их величину вдвое:

.

(1.53)

Ряд в правой части (1.53) представляет собой комплексную функцию времени, которую обозначим  и будем называть комплексным или аналитическим сигналом:

.

(1.54)

Его геометрическим представлением является вектор, образующийся при суммировании элементарных векторов . Так как элементарные векторы вращаются с разными угловыми скоростями , то их взаимная конфигурация со временем изменяется. Поэтому их векторная сумма (рис. 1.25) представляет собой вектор с переменной длиной, вращающийся с переменной угловой скоростью.

Исходный сигнал (1.51) является действительной частью аналитического сигнала.

Учитывая выражение (1.19) для комплексных коэффициентов ряда Фурье

получим:

(1.55)

что является обычным разложением сигнала в ряд Фурье в тригонометрической форме.

Мнимая часть аналитического сигнала представляет собой некоторую функцию времени, однозначно определяемую исходным сигналом .

Ее обозначают  и называют сигналом, сопряженным по Гильберту с  [6, 20]:

(1.56)

Отсюда видно, что сопряженный сигнал можно получить из исходного, повернув начальные фазы всех его составляющих на  или, другими словами, заменив в ряде Фурье (1.71)  на , а  на .

В соответствии с (1.54), (1.55) и (1.56) аналитический сигнал может быть выражен через реальный и сопряженный сигналы следующим образом:

.

(1.57)

Исходя из этого, аналитический сигнал в момент времени t может быть представлен точкой на комплексной плоскости, если по оси абсцисс откладывать значения реального сигнала , а по оси ординат - сопряженного с ним сигнала  (рис. 1.26).

В качестве примера рассмотрим гармоническое колебание:

.

(1.58)

Такой сигнал представляется только одним членом ряда Фурье, так как

,	(1.59)
,	(1.60)
, при любых .	(1.61)

Справедливость (1.60) и (1.61) вытекает из ортогональности функций  и .

В соответствии с (1.56), (1.60), (1.61) сопряженный сигнал:

.

(1.62)

Тогда аналитический сигнал , соответствующий реальному сигналу (9), можно записать следующим образом:

.

(1.63)

Точки, отображающие реальный и сопряженный сигналы (рис.1.28), совершают в данном случае гармонические колебания по оси абсцисс и ординат относительно точки 0 по законам, соответственно, косинуса и синуса.

Длина вектора, соединяющего начало координат на рис.1.28 с точкой , отображающей аналитический сигнал [6, 32],

.

(1.64)

Угол между вектором  и осью абсцисс

.

(1.65)

В рассматриваемом случае для верхней полуплоскости получаем:

.

(1.66)

Таким образом, с течением времени точка, отображающая аналитический сигнал , соответствующий гармоническому колебанию (1.58), равномерно вращается по окружности с радиусом  с угловой скоростью . Параметры  и  в данном случае определяют амплитуду и фазу синусоидального сигнала.

Для других сигналов, отличных от гармонических, точка  перемещается на комплексной плоскости по более сложной траектории, отличающейся от круговой.