§ 5.20. Устранение влияния помех

Нельзя ли устранить влияние помех при неквадратичном критерии оптимальности? Оказывается, при определенных условиях можно. Выясним эти условия.

Предположим, что функция  представляет собой полином степени . Тогда при отсутствии помехи

    (5.93)

Пусть при  критерий  достигает минимума.

Если на выходе объекта имеется помеха , то

      (5.94)

Очевидно, что, минимизируя (5.94), мы получим значение  вообще говоря, не равное  и зависящее от статистических характеристик — моментов — помехи , т. е. мы получим смещенную оценку .

Если же нам известны моменты помехи , то можно изменить критерий качества так, чтобы оценка  получилась несмещенной. Действительно, пусть

         (5.95)

где  — пока неизвестные коэффициенты. Для определения этих коэффициентов разложим  ряд по степеням . Полагая для простоты, что сигнал  и помеха  не коррелированы, запишем функционал (5.95) в такой форме:

       (5.96)

где  — момент помехи -го порядка.

Сопоставляя (5.96) и (5.93), легко заключить, что если выбрать неизвестные коэффициенты  так, чтобы выполнялись равенства

          (5.97)

то минимизация функционала (5.94) с помощью алгоритмов адаптации будет давать несмещенную оценку  . Этот результат можно получить и в том случае, когда  и  коррелированы. Поскольку система линейных уравнений треугольна, то проще всего коэффициенты  вычислять по рекуррентной формуле

    (5.98)

В эту формулу входят моменты помехи. Конечно, можно предположить, что эти моменты вычисляются заранее, но вряд ли это предположение окажет существенную практическую пользу. Нетрудно, однако, для определения коэффициентов  использовать алгоритмы адаптации, приспособленные для вычисления моментов помехи; эти алгоритмы аналогичны описанным в §§4.16 и 5.2—5.6. Таким образом, несмещенность оценок мы здесь получаем за счет соответствующей замены критерия оптимальности.

Устранение влияния помех, действующих на входе нелинейного элемента — задача более сложная, но при определенных условиях разрешимая. Мы позже рассмотрим эту задачу в связи с адаптивными фильтрами (гл. VI).