§ 6.2. Критерий оптимальности

Пусть к входу фильтра приложено внешнее воздействие

              (6.1)

где  — полезный сигнал,  — возможная помеха, причем и сигнал, и помеха представляют собой стационарные случайные процессы с неизвестными функциями распределения. Как обычно, предполагается, что среднее значение помехи равно нулю (рис. 6.1).

Выходная величина фильтра  есть реакция фильтра на внешнее воздействие . Она зависит также от структуры фильтра и, в частности, от вектора параметров .

Рис. 6.1.

Рис. 6.2.

Обычно требуется, чтобы выходная величина фильтра в каком-то определенном смысле мало отличалась от желаемой функции . Желаемая функция  представляет собой некоторое идеальное преобразование полезного сигнала , т. е. результат воздействия некоторого оператора на . Это преобразование, осуществляемое оператором, может быть интегрированием, дифференцированием, упреждением, сглаживанием и т. п.

В качестве меры уклонения выходной величины фильтра  от желаемой функции  мы выбираем уже привычное нам математическое ожидание некоторой строго выпуклой функции F от разности . Тогда

              (6.2)

Задача теперь состоит в определении структуры адаптивного фильтра и алгоритма адаптации, обеспечивающих минимизацию меры уклонения — функционала (6.2).

Поясним эту задачу. Обратимся к блок-схеме, показанной на рис. 6.2. Здесь сравниваются выходы адаптивного и идеального фильтров, ко входам которых приложены соответственно сигналы  и . Уклонение  поступает на нелинейный преобразователь с характеристикой . Подавая реализации  на специальное устройство, изменяющее в соответствии с алгоритмом адаптации вектор параметров , необходимо добиться минимума меры уклонения.

Эта задача будет решена, если будут найдены соответствующие алгоритмы адаптации.