§ 7.12. Алгоритмы оптимального управления

От выбора вектора параметров  зависит вероятность того, что -я компонента вектора лежит вне допустимых пределов, определяемых интервалом  , т. е.

,                   (7.40)

где

Качество управления полностью определяется вектор-функцией , и задачу оптимального управления переопределенным объектом можно сформулировать как задачу определения такого вектора , при котором функционал

                (7.41)

достигает минимума.

Здесь  — случайный индекс, принимающий значение, равное индексу одной из компонент выходного вектора , выходящей за допустимые пределы. Правили, по которым из нескольких компонент вектора , одновременно выходящих за допустимые пределы, выбирается одна, могут быть различными. В частности, можно считать, что если компоненты с индексами , одновременно вышли за допустимые пределы, то случайный индекс  с равной вероятностью  принимает одно из этих значений.

Если все компоненты лежат внутри допустимых пределов, то будем считать, что в этот момент времени случайный индекс  принимает нулевое значение. Закон распределения  полностью определяется законами распределения компонент вектора выходных величин  и правилом выбора одной компоненты из числа компонент, которые к данному моменту времени вышли за допустимые пределы.

Введем уже знакомую нам характеристическую функцию

                     (7.42)

тогда критерий оптимальности (7.41) можно представить в виде

                        (7.43)

где математическое ожидание берется по  и по . Для определения оптимального значения , минимизирующего , воспользуемся поисковым алгоритмом адаптации. Тогда

,   (7.44)

где   — значение случайного индекса  на  -м шаге.

Если в системе в каждый момент времени только одна компонента вектора выходных величин может выходить за допустимые пределы, то критерий оптимальности (7.43) можно представить в виде

или

,                (7.45)

где  означает евклидову норму вектора . Таким образом, поисковый алгоритм адаптации доставляет минимум критерию оптимальности (7.43), а в некоторых случаях и критерию (7.45).

Часто может оказаться необходимым минимизировать вероятность того, что хотя бы одна компонента выходного вектора вышла за пределы области , т. е. минимизировать

,                                 (7.46)

где

.                               (7.47)

Вводя характеристическую функцию

                                (7.48)

представим функционал (7.46) иначе:

.                               (7.49)

В этом случае поисковый алгоритм адаптации, доставляющий минимум критерию оптимальности (7.46), будет иметь вид

     (7.50)