§ 7.20. О синтезе оптимальных систем

Задача синтеза оптимальных систем управления вот уже много лет привлекает внимание ученых и инженеров. Мы хотим показать возможность решения подобной задачи на основе адаптивного подхода. Чтобы читатель не подумал, что адаптивный подход применим только к дискретным системам, описывающимся разностными или суммарными уравнениями, мы здесь рассмотрим управляемый объект, описываемый векторным дифференциальным уравнением

,                           (7.75)

где

                         (7.76)

— вектор состояния,

                                    (7.77)

— вектор управляющею воздействия.

Качество управления оценивается функционалом

.                             (7.78)

В задаче синтеза требуется найти такой закон управления, при котором функционал  в силу уравнений (7.75) достигал бы минимума. Когда  скаляр, этот закон имеет вид

.                                  (7.79)

Будем искать уравнение управляющего устройства в знакомой нам форме

.            (7.80)

В этом случае задача аналогична задаче восстановления неизвестной функции  (§ 7.5). Нужно заметить, что часто вид вектор-функции  определяется   заранее конструктивными соображениями, а не только желанием возможно лучше аппроксимировать функцию . Уравнение (7.75) можно заменить уравнением

.        (7.81)

Решение этого уравнения

                                   (7.82)

зависит от вектора начальных состояний  и  вектора параметров . Поэтому функционал (7.79)

  (7.83)

также зависит от начальных условий. Это значит, что однозначно определить оптимальный вектор  невозможно, ибо он зависит от вектора начальных состояний . Чтобы избежать этой неоднозначности, естественно считать вектор  оптимальным, если он минимизирует критерий оптимальности (7.78) в среднем для, хотя и неизвестной, но безусловно существующей плотности распределения  начальных состояний. Таким образом, мы приходим к необходимости минимизации функционала

       (7.84)