§ 7.22. О синтезе оптимальных систем при наличии помех

В предыдущем параграфе мы полагали, что вектор состояния  может быть точно измерен. К сожалению, часто вместо вектора состояния  измеряется иной вектор, скажем , который зависит от вектора состояния , помехи , характеризующей ошибку измерения, и, возможно, времени  .

Как в этих условиях осуществить синтез оптимальной системы? Для нелинейных объектов методы, которые бы решали эту задачу, пока неизвестны. Единственный и, вероятно, поэтому уже ставший общеизвестным выход из этого положения состоит в следующем. Объект предполагается линейным, помеха — гауссовой, а критерий качества — квадратичным. Эти предположения обеспечивают полный успех в решении задачи, не столько поставленной, сколько полученной в результате «линеаризации» и «гауссовизации». Но если даже закрыть глаза на эту подмену или, в лучшем случае, если бы такая подмена задачи нас устраивала, то и тогда этот традиционный путь не привел бы к приемлемым результатам. Дело в том, что для объекта, описываемого уравнениями высокого порядка, возникли бы огромные вычислительные трудности, вызванные необходимостью интегрирования большого числа нелинейных уравнений типа Риккати.

Для решения рассматриваемой здесь задачи синтеза будем искать уравнение управляющего

,                             (7.92)

где  — некоторая заданная функция,

,

или

                   (7.93)

— вектор доступных для измерения величин,

                                               (7.94)

— вектор пока неизвестных параметров, причем, как выше уже было отмечено,

.                             (7.95)

Положим, что заранее известен оптимальный закон управления как функция фазовых координат либо оптимальное управление как функция времени. Моделируя управляемый объект, мы тем самым делаем вектор состояния  или  доступным для измерения. На этой модели производятся прогонки и для различных оптимальных управляющих воздействий , т. е. для разных начальных состояний. Тем самым находятся оптимальные значения вектора , что позволяет составить таблицу поведения «идеальной» оптимальной системы. Теперь задача состоит в таком подборе вектора параметров  в (7.92), чтобы наилучшим образом приблизиться к этой «идеальной» системе.

Особенно эффективен такой подход для систем, оптимальных по быстродействию. В этом случае, как известно,  нужно определить  так, чтобы при малом  выполнялись  неравенства

             (7.96)

Если  зависит от  линейно, то мы получаем систему линейных неравенств, с которой уже встречались в § 4.11. Изложенный там подход решает задачу и в этом случае. В общем же случае задача сводится к решению нелинейной системы неравенств (7.96), которая при определенных условиях допускает применение аналогичных, но надлежащим образом обобщенных алгоритмов.