§ 5.14. Специальный случай

Обычно ядра  обладают таким свойством, что

                     (5.65)

Это свойство называют свойством сепарабельности.

Допустим, что

 

 при  и         (5.66)

Тогда для восстановления ядра  следует определить  их значений в точках .

Искомые ординаты ядер будем считать компонентами неизвестного вектора, который снова обозначим через  и введем вектор

         (5.67)

где

Легко видеть, что  получается из (5.58) при специальном выборе . Таким образом, и в этом случае мы получаем соотношение, аналогичное (5.50), и для определения  можно использовать алгоритм (5.64). Единственная особенность этого случая (не очень приятная) состоит в повышении размерности вектора . Если для восстановления -го ядра (5.56) было нужно  составляющих, то теперь число составляющих возрастает до .

Размерность вектора  можно уменьшить, если вместо одной системы линейно независимых функций  воспользоваться системами  как это мы делали в § 5.12. Тогда вместо (5.56) будем иметь

                 (5.68)

В этом случае, повторяя рассуждения § 5.12, алгоритм адаптации мы получим в виде

          (5.69)

где  — -мерный вектор. Теперь размерность вектора  равна . Меньшая размерность вектора  достигается ценой увеличения разнообразия функций  выбор которых для бесконечного интервала времени не так уж велик.