1. Разложение сигналов по базисным функциямДля того чтобы иметь возможность представить вектор в пространстве измерений необходимо задать систему координат. Оси системы координат определяются векторами. В качестве простого примера рассмотрим ортогональную систему координат двух измерений, называемую декартовой. Базисные вектора описываются выражениями , . Графически такую систему координат можно представить следующим образом: Рис. 1. Графическое представление базисных векторов Увеличим размерность пространства на единицу и добавим к уже существующим базисным векторам и вектор . Соответствующая система координат примет вид: . Из полученных выражений базисных векторов двух и трех измерений следует, что такое определении базиса представляет собой единичную матрицу, в которой строки или столбцы определяют координаты базисных векторов. Таким образом, для любого - мерного пространства легко определить определить базис как единичную матрицу размерности элементов. Данное определение базиса в - мерном пространстве не является единственным. В общем случае в качестве векторов можно выбрать другой набор векторов . Причем их ориентация будет всегда определяться относительно базиса . При этом набор векторов будет образовывать базис в - мерном пространстве только тогда, когда проекции любого -мерного вектора на данные вектора будут уникальны. Это условие обеспечивается в том случае, когда вектора линейно независимы. Определим математически данное условие. Пусть вектор задан в базисе векторов , ,…, . Тогда его координаты в новом базисе вычисляются как скалярные произведения вектора с векторами : , , Или в матричной форме . Матрица размерностью элементов, составленная из базисных векторов , называется матрицей преобразования. Из условия единственности представления вектора следует, что вычисленные координаты , должны уникальным образом описывать вектор в базисе векторов . Следовательно, существует обратное преобразование из в , которое можно записать следующим образом: . Данное выражения справедливо, т.к. произведение матрицы на соответствующую обратную матрицу дает единичную, а произведение вектора на единичную матрицу даст тот же вектор . Таким образом, необходимым и достаточным условием того, что векторы образуют базис в - мерном пространстве является существование обратной матрицы составленной из данных векторов. Представленное разложение векторов можно обобщить на двумерный случай. Пусть задана матрица размерностью элементов. Ее проекции в базисе векторов вычисляются как . Данное выражение показывает, что для преобразования двумерных сигналов, в общем случае, необходимо задавать четырехмерную матрицу преобразования . Рассмотрим частный случай двумерного преобразования. Пусть проекции , вычисляются как , , . (1) Анализ данного выражения показывает, что сначала вычисляется преобразование по столбцам матрицы и результат записывается в . Затем выполняется преобразование по строкам матрицы , . Преобразование вида (1) называют разделимым, которое в матричном виде записывается как . (2) Обратное преобразование имеет вид . (3) Из формул (2) и (3) видно, что основная доля вычислений приходится на нахождение обратной матрицы. Сократить объем вычислений можно, если воспользоваться ортогональными базисными векторами, которые удовлетворяют условию (4) где - базисные вектора, соответствующие обратной матрице . Из выражения (4) следует, что . Тогда обратное преобразование (1) можно записать в виде . В этом случае матрица называется матрицей ортогонального преобразования, а само преобразование унитарным.
|