2. Преобразование Адамара
Самым простым унитарным преобразованием является преобразование Адамара. Матрица для случая двух случайных величин будет иметь вид:
.
Если из элементов матрицы составить базисные вектора , , то они будут характеризовать поворот ортогональной системы координат на 45° относительно единичного базиса.

Если случайные величины и имеют корреляционную зависимость , то проекция вектора на базисный вектор будет, в среднем, больше, чем проекция этого же вектора на базисный вектор . Благодаря этому информация будет сосредотачиваться в первом коэффициенте преобразования. Второй коэффициент служит для уточнения представления вектора в новом базисе.
Рассмотрим подробнее процесс разложения вектора по базисным векторам Адамара. Проекция представляет собой удвоенное среднее значение элементов вектора , проекция - удвоенную разность между средним значением и элементом (рис. 2).

Рис. 2. Графическое представление проекций
Выполним восстановление вектора по первому коэффициенту с помощью обратной матрицы , получим:
. (5)
Из выражения (5) видно, что восстановленный вектор представляет собой средние значения элементов и , что соответствует «грубому» приближению вектора , без наличия мелких деталей.
Рассмотрим теперь восстановление того же вектора по коэффициенту , получим:
. (6)
Анализ выражения (6) показывает, что вектор описывает только мелкие детали вектора . При этом можно заметить, что сумма даст исходный вектор , что соответствует восстановлению по обоим коэффициентам разложения.
При увеличении размерности пространства большая часть информации будет сосредоточена в малом числе коэффициентов
Матрицу Адамара размерности 4х4 элементов легко построить из матрицы Адамара размерностью 2х2 элемента:
,
Пользуясь данным соотношением можно построить матрицу Адамара любой размерности , где - любое целое положительное число.
Анализ изображений выполняется на основе разделимого преобразования:
.
Так как матрица представляет собой оператор ортогонального преобразования, то обратное преобразование из в запишется в виде
.
Восстановление изображения по неполному числу коэффициентов разложения, также как и для случая двух случайных величин, будет приводить к похожим эффектам сглаживания и выделения мелких деталей. При этом возникают ошибки восстановления , которым можно поставить в соответствие некоторую функцию потерь . Значение этой функции будет характеризовать качество восстановления. На практике часто используют квадратичную функцию потерь
. (7)
Так как носит случайный характер, то значение также является случайной величиной. При этом желательно, чтобы , в среднем, была минимальна. Для этого перепишем выражение (7) в виде
, (8)
где - знак математического ожидания. Найдем базисные вектора, минимизирующие (8).
|