17. Восстановление нестационарных случайных последовательностей по неточным вейвлет-коэффициентам

Рассмотренные алгоритмы восстановления удается успешно применять для преобразования стационарных СП, т.к. в этом случае можно относительно просто определить корреляционную матрицу процесса и использовать ПКЛ, либо применять ДКП с вычисленными или заранее заданными коэффициентами . Однако при переходе к нестационарным СП данные алгоритмы восстановления начинают проигрывать алгоритмам на основе вейвлет-преобразований (ВП), которые хорошо себя зарекомендовали при анализе нестационарных сигналов [5, 6].

Известно [5], что любое ВП можно описать через набор низко- и высокочастотных фильтров с коэффициентами  и  соответственно. Для анализа дискретных сигналов данные коэффициенты удобно записывать в матрицы преобразования следующим образом

,

.

Коэффициенты  и  можно рассматривать как базисные вектора, которые для конкретного вида ВП принимают ненулевые значения только на отрезке в  отсчетов, причем , как правило, много меньше длины  анализируемого нестационарного сигнала . В приведенных обозначениях один шаг ВП можно записать в виде

; ,

где  -  вектор низкочастотных коэффициентов (уменьшенная копия сигнала  в два раза);  -  вектор высокочастотных коэффициентов (детали вектора ).

Матрицы синтеза  и  можно найти из условия полного восстановления:

и алгоритм восстановления вектора  принимает вид

.                                              (9)

Если вейвлет-коэффициенты  и  известны точно, то оценка  и вектор  будут совпадать. В противном случае возникает ошибка восстановления , которую требуется минимизировать. На практике задачу минимизации ошибки  решают путем подбора коэффициентов  и . Например, для сжатия изображений с заметными потерями считается наилучшей пара биортогональных вейвлет-фильтров 9/7 с коэффициентами , , , ,  и , , , . Для сжатия без потерь вейвлет-преобразование Коэна-Добеши-Фово 5/3 с коэффициентами  и  [5]. Используя ранее рассмотренный подход к восстановлению стационарных сигналов, применим к ВП. Матрицу  формирования наблюдений  можно записать как

и на основе формулы (3) вычислить оптимальный вектор весовых коэффициентов  для восстановления -го отсчета. Совокупность векторов ,  даст обратную матрицу преобразования:

,                                           (10)

на основе которой можно выполнить восстановление вектора  по формуле (9).

Проведем сравнительный анализ восстановления СП с помощью обычного ВП с коэффициентами  и  и модифицированного с использованием базисных векторов синтеза найденных по формуле (10). На рис. 5 представлены выигрыши ВП (10) по отношению к традиционному по всем вейвлет-коэффициентам и при разных корреляционных связях  между соседними отсчетами и дисперсией шума наблюдений .

Рис. 5. Результаты сравнительного анализа на основе ВП:

а) – выигрыши ВП(10) по отношению к традиционному;

б) – результат восстановления авторегрессионной последовательности на основе ВП (10)

Анализ рис. 5 а) показывает выигрыш модифицированного ВП от 2% до 10% в зависимости от коэффициента корреляции . Проведенный эксперимент восстановления авторегрессионной случайной последовательности на основе модифицированного ВП показал близкие результаты теоретического значения дисперсии ошибок восстановления  с экспериментальным значением . Экспериментальная величина выигрыша  также близка к своему теоретическому значению .

Особенностью данного преобразования является сохранение быстрого алгоритма восстановления, т.к. матрицы синтеза  и  имеют много почти нулевых значений, которые без заметного ухудшения качества восстановления можно приравнять нулю. В результате вектора  и  обратного преобразования будут иметь ограниченную длину не намного превышающую длины исходных векторов  и .

Строго говоря, полученное преобразование на этапе синтеза не будет являться ВП, т.к. вектора  и  могут не удовлетворять условиям, которые накладываются на вейвлет-функции. Тем не менее, такой алгоритм восстановления сохраняет положительные свойства ВП в том числе и быстрый алгоритм построения оценок.

Представленное преобразование на основе ВП можно применять для лучшего восстановления изображений в алгоритмах сжатия с потерями, в которых вейвлет-коэффициенты подвергаются квантованию и не известны точно. В результате коэффициенты разложения ВП можно представить в виде аддитивной модели наблюдения

,

где  - значение вейвлет-коэффициента до квантования;  - шум квантования с математическим ожиданием равным нулю и дисперсией . Следует отметить, что шум квантования, как правило, подчиняется равномерному закону распределения [5], в то время как представленные выше алгоритмы выведены для гауссовского шума с нормальной плотностью распределения. Однако значение дисперсии  шума квантования можно подобрать так, чтобы алгоритм показывал хорошие результаты восстановления и при равномерной ПРВ.

Все рассмотренные выше алгоритмы можно применять и для многомерных сигналов. В этом случае целесообразно многомерный сигнал представить как одномерный, применяя ту или иную схему упорядочивания отсчетов. Интересной особенностью такого подхода является возможность построения неразделимых ВП на этапе синтеза, которые позволяют лучше восстанавливать сигнал, чем разделимые вейвлеты.