18. Введение во фракталы

Рассмотрим способ построения и свойства известной фрактальной кривой Коха [3]. Для этого возьмем равносторонний треугольник, на каждой стороне которого достроим по треугольнику, сторона которого в три, а значит, площадь в девять раз меньше, чем у исходного (рис. 6.1). Повторим аналогичные действия с полученной кривой на втором шаге. И так далее. То, что получится после бесконечного количества таких шагов, называется кривой Коха. Определим периметр данной фигуры. Очевидно, что на втором шаге периметр фигуры увеличится в 4/3 раза. На третьем – еще в 4/3. Это произошло потому, что каждый отрезок заменялся ломаной, длина которой в 4/3 раза больше. А (4/3)n при , стремящемся к бесконечности, также стремится к бесконечности. В то же время, если воспользоваться геометрической прогрессией, то можно убедиться, что площадь фигуры Коха конечна.

Рис. 6.1. Схема построения кривой Коха

Интересной особенностью данного построения является то, длина его периметра зависит от длины линейки, которой он измеряется. Действительно, каждый раз измеряя периметр, сложная линия кривой Коха заменяется ломаной, звенья которой не превышают длину линейки. Поэтому с уменьшением длины линейки будет увеличиваться и измеренный периметр.

Кривая Коха обладает еще одной интересной особенностью. Если взять одну из ее граней и увеличить, то увидим примерно следующее (рис. 6.2 а). При этом мелкие детали в крупном масштабе естественно будут теряться. Увеличим один «зубец» этой кривой до размеров исходной фигуры. В результате получим примерно такое же изображение (рис. 6.2 б). Если повторить этот эксперимент с рис. 6.2 б), то опять получим примерно такое же изображение (рис. 6.2 в). И так далее. Такое свойство фигуры выглядеть в любом сколь угодно малом масштабе примерно одинаково называется масштабной инвариантностью, а множества, которые им обладают, называются фракталами [3,4].

Рис. 6.2. Пример масштабной инвариантности:

а) исходное изображение;

б) увеличенная область масштабирования в три раза;

в) увеличенная область масштабирования в девять раз

Интересно также то, что кривая Коха принадлежит дробному пространству, а именно 1,26 размерности. Дробность размерности умозрительно можно представить в виде области определения кривой. Например, для линии область определения – принадлежит одномерному пространству, множество точек квадрата покрывают двумерное пространство, а область определения кривой Коха - полоса в двумерном пространстве, т.е. и не линия и не плоскость – дробная размерность.

Фигура Коха имеет непосредственное отношение к реальности. Например, английские военные топографы еще до войны заметили, что длина побережья Великобритании зависит от длины линейки, которой ее измеряют. Аналогичная зависимость определяет длину некоторых рек, побережье многих островов, путь, проходимый частицей при броуновском движении, и многое другое.

Другим известным примером фрактала является ковер Серпинского, придуманный польским математиком в 1915 г. Построение данной фигуры выполняется следующим образом. На первом этапе берется равносторонний треугольник вместе с областью, которую он охватывает (рис. 6.3, а). Затем из этого треугольника удаляется центральная треугольная область как показано на рис. 6.3, б. Повторяя эти действия многократно получаем изображение ковра Серпинского (рис. 6.3, с).

Рис. 6.3. Этапы построения ковра Серпинского

Интересной особенностью данного построения является то, что площадь отброшенных частей в точности равна площади исходного треугольника. Действительно, пусть изначально площадь треугольника была равна единице. На первом шаге удаляется ¼ его площади, на втором  и т.д. В пределе, при числе шагов стремящихся к бесконечности, получается следующий сходящийся ряд:

.

Следовательно, можно утверждать, что ковер Серпинского имеет нулевую площадь.

В общем случае существует большое многообразие фракталов, но все они обладают двумя свойствами: масштабная инвариантность (самоподобие) и дробность размерности.