22. Фильтрация изображений с помощью ДПФ

С помощью рассмотренного ДПФ можно выполнять фильтрацию сигналов и изображений. Рассмотрим сначала одномерный случай. Амплитудный спектр вектора

Показывает значение амплитуд на частотах . Если для некоторого значения  функция , то комплексная синусоида данной частоты отсутствует в векторе . Используя это свойство можно искусственно удалять определенные частоты из сигнала. Измененный вектор во временной области можно найти на основе следующего выражения:

,

где  - измененный спектр. В случае идеальной низкочастотной фильтрации низкие частоты не изменяются, а высокие отбрасываются, т.е. их амплитуды приравниваются нулю. Например, в дискретном случае можно положить

тогда выходной сигнал

                    (12)

где  - импульсная характеристика фильтра. Выражение (12) описывает фильтрацию как свертку входного сигнала  с импульсной характеристикой .

Учитывая разделимость ДПФ, перепишем выражение (12) для двумерного случая:

где  - двумерная импульсная характеристика фильтра.

При идеальной высокочастотной фильтрации амплитуды низких частот приравниваются нулю, а высокие остаются без изменений. По аналогии с низкочастотной фильтрацией можно положить

При этом выходной сигнал  также будет определяться через свертку  с импульсной характеристикой .

Рассмотренные примеры фильтрации показывают, что разные преобразования сигналов можно рассматривать с единых позиций.