§ 8. Прямая линия

Понятие прямой является первичным в геометрии. Из аксиом геометрии мы знаем, что через две точки проходит единственная прямая и через точку, лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.

В плоскости зададим прямоугольную систему координат ,  и прямую , не параллельную оси  (рис. 12).

Рис.12

Из школьного курса мы знаем, что уравнение прямой  имеет вид

,                                                       (1)

где  и  - угол, образованный прямой  с положительным направлением оси , а  - ордината точки пересечения  с осью  .

Когда говорят, что уравнение (1) есть уравнение прямой , этим хотят выразить, что  есть геометрическое место точек, координаты которых  удовлетворяют уравнению (1). Справедливость этого утверждения легко усмотреть из рис. 12. Точка  есть произвольная (текущая) точка прямой , имеющая координаты ,  и

,                                                             (1')

откуда следует (1). Обратно, равенство (1) эквивалентно равенству (1'), а последнее выражает, очевидно, тот факт, что точка  лежит на прямой . На рис. 12 угол  острый. В случае тупого угла  можно провести подобные рассуждения.

Зададим уравнение

,                                                                  (2)

где , ,  - заданные числа и к тому же  и  одновременно не равны нулю.

Если , то уравнение (2) можно записать в следующем виде:

                                                                      (2')

или, полагая

,           

в виде (1). Так как уравнения (2) и (2') эквивалентны - любая точка , удовлетворяющая одному из них, удовлетворяет и другому, - то равенство (2) при  есть уравнение прямой, наклоненной к положительному направлению оси  под углом , тангенс которого равен , и пересекающей ось  в точке, имеющей ординату . При  уравнение (2) принимает вид

    ,

или

        .

Это тоже уравнение прямой, но только параллельной оси . Именно, это есть геометрическое место точек , абсциссы  которых равны одному и тому же числу . На рис. 13 изображена такая прямая при .

Рис.13

Из сказанного следует, что уравнение (2), где , ,  - заданные числа и при этом  и  одновременно не равны нулю, есть уравнение некоторой прямой. При  эта прямая не параллельна оси . В частности, при  она параллельна оси . В случае же, если , то она параллельна оси . Отметим, что ось  имеет, очевидно, уравнение , а ось  имеет уравнение .

Уравнение (2) называется уравнением прямой в общем виде. Любая прямая, как угодно расположенная по отношению к системе координат, может быть описана уравнением вида (2) при подходящих постоянных числах , , . Подчеркнем, что числа  и  в уравнении (2) прямой одновременно не равны нулю. Отметим, что число  в уравнении (1) называют угловым коэффициентом прямой.

Решим несколько важных задач.

Задача 1. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным числу , проходящей через заданную точку .

Решение. Прямая с угловым коэффициентом  имеет вид

,                                                                      (3)

где  может быть любым числом. Так как точка  должна находиться на данной прямой, то должно выполняться равенство

.                                                                  (4)

Вычитая (4) из (3), получим искомое уравнение

                                                         (5)

прямой, проходящей через точку  с угловым коэффициентом .

Задача 2. Написать уравнение прямой, проходящей через заданные две точки  и . Предполагается, что эти точки разные.

Решение. Пусть . Тогда, очевидно, искомая прямая не параллельна оси  и потому может быть записана в виде

,                                                         (6)

где  — некоторое число. Уравнение (6) уже выражает, что прямая проходит через точку . Чтобы она проходила также через точку , надо чтобы выполнялось равенство

.                                                     (7)

Деля (6) на (7) (т. е. деля левую часть (6) на левую часть (7), а правую часть (6) на правую часть (7)), получим

.                                                                     (8)

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точки  и .

Замечание 1. Могло случиться, что , тогда формально мы получили бы равенство

.

Несмотря на бессмысленность этого равенства, так пишут - считают удобным. Если освободиться от знаменателей, то получим верное равенство

или

.                                                                  (9)

Случай  приводит к решению .

Задача 3. Найти угол  между прямыми

,       .

Решение. Имеем , , где ,  - соответственно углы, образованные данными прямыми с положительным направлением оси .  Имеем (рис. 14)

,                            (10)

и мы получили формулу угла между прямыми.

Рис. 14

Случай  или

выражает условие перпендикулярности прямых. Условие параллельности прямых , запишется так

.                                                                    (12)

Зададим уравнение прямой в общем виде:

                                                       (2)

При , ,  уравнение (2) можно записать в форме

        .                                        (13)

Уравнение (13) называется уравнением прямой в отрезках. Эта прямая пересекает ось  (прямую ) в точке  и ось  в точке .

Если прямая, удовлетворяющая уравнению (2), проходит через точку , то

.                                                        (14)

Вычитая (14) из (2), получим

.                                           (15)

Уравнение (15) называется уравнением прямой, проходящей через точку .

Если ввести в рассмотрение векторы , ,, то левую часть (15) можно рассматривать как скалярное произведение вектора  на вектор . Поэтому уравнение (15) в векторной форме имеет вид

.                                                      (15')

Вектор  принадлежит прямой  (рис. 15). Таким образом, из (15') видно, что вектор  ортогонален  (перпендикулярен) данной прямой, и тем самым мы выяснили геометрический смысл коэффициентов  и .

Рис. 15                                                                                Рис.16

Рассмотрим две прямые

,                                                   (16)

.                                                (17)

Так как векторы  и  перпендикулярны к прямым (16) и (17) соответственно, то угол  между прямыми (16) и (17) равен углу между векторами  и  (рис. 16). Угол  можно вычислить по формуле

.                           (18)

Замечание 2. Если  - угол между прямыми, то  также является углом между этими прямыми. Число (18) может быть положительным и отрицательным. Одно из них соответствует углу , а другое - углу .

Из (18) получаем условие перпендикулярности  и  :

.                                                                 (19)

Если прямые  и  параллельны, то векторы   и  коллинеарны и , где  - некоторое действительное число. Отсюда условие параллельности прямых выражается равенством

.                                                                    (20)

Рис.17

Пусть дана произвольная прямая  в  прямоугольной системе координат (рис. 17), не проходящая через начало координат, и пусть  — вектор, выходящий из начала координат и перпендикулярный к прямой  с концом, лежащим на прямой. Вектор  полностью определяет прямую  (через конец вектора а проходит единственная прямая, перпендикулярная к нему). Пусть  есть длина  ,  есть единичный вектор, направленный в ту же сторону, что и . Здесь ,  - углы между  (или ) и соответственно с положительным направлением оси  и оси ;  . Обозначим через  радиус-вектор произвольной (текущей) точки прямой . Проекция вектора  на единичный вектор , очевидно, равна , т. е. скалярное произведение радиус-вектора произвольной точки  прямой  на вектор  равно :

.                                                 (21)

Итак, мы получили векторное уравнение , потому что, и обратно, если радиус-вектор точки удовлетворяет уравнению (21), то точка лежит на  (точка, не лежащая на , имеет проекцию на , отличную от ).

Если прямая  проходит через начало координат, то ее уравнение можно записать тоже в виде (21), где  - единичный перпендикулярный к ней вектор и .

В координатной форме уравнение (21) имеет вид

                                       (21')

или

.                                         (21")

Уравнение (21') (или (21")) называется уравнением прямой в нормальном виде.

Если прямая  задана общим уравнением

,

то его можно привести к нормальному виду, умножив на число

,                                                         (22)

где надо выбрать знак, противоположный знаку  (). Число  называется нормирующим множителем. Так как

,

то существует и притом единственный угол , удовлетворяющий неравенствам , для которого

, .                                                 (23)

В результате мы получаем уравнение (21), где . Отметим еще раз, что число  равно расстоянию от начала координат до прямой.

Задача 4. Найти расстояние  от точки до прямой , определяемой уравнением

.                                                               (24)

Решение. Пусть

                                                                (25)

есть нормальное уравнение прямой (24). Таким образом, если , то  есть длина вектора , опущенного из начала координат  на  (перпендикулярно к ), а  - единичный вектор, направленный как (,  (рис. 18)). Пусть  есть радиус-вектор произвольной точки . Тогда, очевидно, чтобы найти расстояние от точки , имеющей радиус-вектор  до , надо спроектировать вектор  на направление вектора  и взять абсолютную величину проекции:

Мы получили формулу

.                                                         (26)

Таким образом, чтобы  получить расстояние , надо привести уравнение (24) к нормальному виду, перенести  в левую часть, подставить в левую часть вместо ,  соответствующие координаты ,  точки  и взять абсолютную величину полученного выражения.

Рис. 18                                                                                Рис. 19

На языке коэффициентов , ,  равенство (26) выглядит так:

.                                                                    (26')

При  формула (26), а следовательно и (26'), остается тоже верной. В этом случае ,  - один из двух единичных векторов, перпендикулярных к  (рис. 19). Теперь

или

,

т.е. формула (26') верна при .

Замечание 3. Из рис. 18 видно, что: а) если начало  и точка  находятся по одну сторону от , то угол между  и  острый и ; б) если же  и находятся по разные стороны от , то угол между  и  тупой и .

Задача 5. Найти расстояние от точки (1, 1) до прямой

.