§ 7. Отрезок. Деление отрезка в данном отношении

Зададим произвольные точки  и введем множество точек (векторов):

,                                          (1)

определяемых неотрицательными числами , сумма которых равна 1. Имеем

                                  (2)

или

.                                                 (2')

Рис. 11

Из равенства (2) видно, что в трехмерном пространстве точки  заполняют отрезок, соединяющий  и . Ведь радиус-вектор  есть сумма вектора  и вектора , коллинеарного с  (рис. 11). Таким образом, множество точек (1) представляет собой отрезок  в , соединяющий точки  и . При   при  , для любого   есть произвольная точка .

По определению отрезком , соединяющим точки , называется множеством всех точек  вида (1). Справедлива

Теорема1. Точка

делит отрезок , соединяющий точки  на отрезки с длинами, находящимися в отношении .

Доказательство. Из (2) следует, что , и потому расстояние между точками  и  равно

                                                 (3)

Далее, из (2') , и потому расстояние между точками  и  равно

.                                                (4)

Из (3) и (4) следует

,

что и требовалось доказать.

Задача. Требуется найти на отрезке , соединяющем точки , точку , делящую этот отрезок в отношении .

Решение. Возьмем числа

, .

Они удовлетворяют свойствам . Поэтому на основании теоремы 1 искомая точка

            .                                              (5)

Ее координаты выражаются через координаты ,  при помощи равенств

.                                  (5')

В частности, середина отрезка получается при, , т. е. .

Отметим, что, как доказывается в механике, точка , определяемая равенством (5) или (5'), есть центр тяжести системы точек  и , в которых сконцентрированы массы соответственно  и .

Отметим, что в , множество точек

,

где  и  любого знака представляет собой прямую, проходящую через точки  и . Это видно из равенства (2’).

В пространстве же   это множество называют прямой по определению.

Пример 1. Найти координаты центра тяжести системы материальных точек  соответственно с массами . Применяя формулы (5') для точек ,  найдем центр тяжести  точек  и . Затем находим центр тяжести  точек  и  cоответственно с массами  и . Продолжая этот процесс на -м шаге, получаем

.