6.5. Неравенство Минковского.

Отметим важное неравенство (Минковского)

,                                                             (9)

или на языке компонент

                                              (10)

Его можно доказать так:

.

Используя неравенство Буняковского (6), имеем:

,

откуда следует (9). Из (9) следует неравенство

,                                                   (11)

 потому что

Задача. Найти угол между векторами (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1).

Замечание 1. Произвольное множество , состоящее из элементов  любой природы, называется линейным пространством, если существует закон, в силу которого для любых двух элементов  определены  и , называемые соответственно суммой, разностью  и , и для любого действительного или комплексного числа  и элемента определен элемент , называемый произведением  на  или  на , так что выполняются перечисленные выше в этом параграфе свойства 1) - 8), где , и , .

 можно рассматривать как пример линейного пространства, но существуют и другие интересные примеры. Например, совокупность  непрерывных на отрезке  функций  если считать, что ,,  определены соответственно как , , , есть линейное пространство.

Линейное пространство с умножением его элементов на действительные (комплексные) числа называется действителъным (комплексным) линейным пространством.

Замечание 2. Если в каком-либо линейном пространстве  каждым двум его элементам ,  приведено в соответствие число , удовлетворяющее сформулированным выше свойствам а), б), в) в действительном случае и а'), б'), в') в комплексном случае, то говорят, что в  введено скалярное произведение.

Выше было дано определение n-мерного евклидова пространства — это пространство , в котором определено скалярное произведение по формулам соответственно (5) или (5').