6.4. Неравенства Буняковского.

Для скалярного произведения в действительном и комплексном пространстве справедливо неравенство (Буняковского)

.                                                              (6)

Докажем его только в действительном случае. В самом деле, для любого действительного числа

где , , . Мы видим, что квадратный многочлен

неотрицателен для любого действительного . Поэтому весь его график лежит выше оси , а это может быть, только если дискриминант многочлена отрицателен или равен нулю, т. е. если  или , и мы получили неравенство Буняковского (6).

На языке компонент векторов  и  неравенство (6) можно записать так:

.                                          (7)

Таким образом, каковы бы ни были действительные числа , , выполняется неравенство (7).

В силу (3) неравенство Буняковского можно написать так:

.

Но тогда существует и притом единственное число , удовлетворяющее неравенствам , для которого имеет место точное равенство

.

Отметим, что на  функция  имеет однозначную строго убывающую обратную функцию, с областью значений на . Поэтому для каждого  () существует единственный угол  () такой, что . Таким образом, мы доказали равенство

.                                                    (8)

Число  называется углом между n-мерными векторами  и , хотя на самом деле при  векторы  и  являются вовсе не реальными отрезками, а математическими абстракциями.

Векторы  и  называются ортогональными, если скалярное их произведение равно нулю

.

Из (8) следует, что для того, чтобы ненулевые векторы  и  были ортогональными, необходимо и достаточно, чтобы угол между ними .