6.3 Скалярное произведение в комплексном пространстве Rn.

Скалярным произведением двух векторов  и  в комплексном пространстве  называется число

,                                                     (5')

где  есть комплексное число, сопряженное к числу  (по определению, если , где  и  действительные, то ).

Скалярное произведение в комплексном пространстве обладает свойствами:

а') ; при этом равенство нулю имеет место тогда и только тогда, когда,

б') ,

в') .

В самом деле,

,

и равенство может быть, лишь если . Далее,

.

Здесь мы воспользовались свойствами операции сопряжения  и . Наконец,

В комплексном пространстве  длина вектора  определяется при помощи равенства

,                                                         (3')

а расстояние между точками  и

                                                                (4')

Легко видеть, что при действительных ,  выражения (3) и (4) являются частными случаями выражений (3'), (4').

Пространство  (действительное или комплексное), в котором введено понятие скалярного произведения по формуле (5) (соответственно (5')), называется евклидовым  n-мерным  пространством.