2.1. Определители третьего порядка.

 Число

,       (1)

записываемое в форме

,                           (2)

где  - числа (действительные или комплексные), называется определителем или детерминантом третьего порядка.

В определителе (2) различают первую, вторую и третью строки, так же как первый, второй и третий столбцы. Число  называется элементом определителя; при этом первый индекс  указывает номер строки, а второй индекс  - номер столбца, к которому принадлежит данный элемент. Будем также говорить, что элемент  находится на пересечении -й строки и -го столбца. Элементы определителя , ,  образуют главную диагональ определителя, а элементы , ,  - побочную. Можно также говорить, что диагональ, на которой расположены элементы , ,  называется главной диагональю определителя (2).

Структура выражения (1) довольно проста. Это есть число, вычисляемое по элементам  по следующему наглядному правилу (Саррюса): составим таблицу (Саррюса), полученную из элементов определителя (2), если приписать к ним первый и второй столбцы определителя (рис. 1). Мы видим, что надо взять всевозможные произведения элементов, зачеркнутых прямыми; при этом три произведения, соответствующие прямым, параллельным главной диагонали, надо взять со знаком плюс, а остальные три произведения, соответствующие прямым, параллельным побочной диагонали, надо взять со знаком минус.

Рис. 1

Каждое произведение с указанным знаком называется членом определителя (2). Среди входящих в произведения элементов имеются представители от каждой строки от каждого столбца. Эти элементы можно в каждом члене расположить в порядке возрастания первого индекса, т. е. номеров строк, к которым они принадлежат. Это и сделано в сумме (1). Что же касается номеров столбцов, к которым принадлежат эти элементы, то их расположения даются ниже:

                                           (3)

                                           (4)

Это всевозможные перестановки из чисел 1, 2, 3. Перестановку

1, 2, 3                                                (5)

из чисел 1, 2, 3 назовем основной.

Говорят, что в перестановке произведена транспозиция двух определенных ее элементов, если эти элементы заменены местами. После транспозиции перестановка переходит в другую перестановку. В этой последней можно сделать в свою очередь транспозицию, в результате получится третья перестановка (но не исключено, что и первая).

Например, перестановка

3, 2, 1                                                  (6)

получена транспозицией первого и третьего элементов перестановки (5), а перестановка

2, 3, 1                                                  (7)

транспозицией первого и второго элементов перестановки (6).

Важно отметить, что, если некоторая перестановка получена из основной посредством  транспозиций и если эта же перестановка получена из основной каким-либо другим путем посредством  транспозиций, то оба числа  и , одновременно либо четные, либо нечетные. Перестановка чисел 1, 2, 3 называется четной (нечетной), если она получается из основной перестановки при помощи четного (нечетного) числа транспозиций.

Пусть дана перестановка , где , ,  это числа 1, 2, 3, взятые в некотором порядке. Число транспозиций, с помощью которых можно получить эту перестановку из основной перестановки, обозначим через . Тогда перестановка  является четной (нечетной), если  - четное (нечетное) число.

Перестановки (3) - четные, а (4) - нечетные.

После сказанного можно дать другое эквивалентное определение определителя 3-го порядка.

Определителем или детерминантом 3-го порядка (2) называется число , равное сумме

                                        (8)

произведений вида , где  всевозможные различные перестановки основной перестановки 1, 2, 3.

Это определение обобщается на определители или детерминанты n-го  порядка ().