9.7. Расстояние от точки до плоскости.
Требуется найти расстояние от точки
до плоскости
, определяемой
уравнением
.
Для этого приведем уравнение
к нормальному виду:
.
Здесь
- радиус-вектор текущей точки
плоскости
,
- длина перпендикуляра
к
, выпущенного из нулевой
точки, и
-
единичный вектор, направленный как
. Из рис. 22 видно, что разность
радиус-вектора
произвольной точки
плоскости
и радиус-вектора
точки
есть
такой вектор, что абсолютная величине его проекции на
равна искомому расстоянию
от
до
:
,
но
.
Следовательно,
.
Рис.
22
Мы видим, что, для того чтобы
вычислить расстояние
от точки
до плоскости
, надо записать уравнение
плоскости
в
нормальном виде, перенести
в левую часть и подставить в последнюю
вместо
.
Абсолютная величина полученного
выражения и есть искомое число
.
На языке параметров плоскости,
очевидно,
.
Легко видеть, что если точка
и начало координат
находятся по разные стороны от плоскости
(как на рис. 22), то вектор
образует с
тупой угол, и
поэтому
.
Если же точка
и начало координат находятся
по одну сторону от
,
то указанный угол
острый, и тогда
.
Следовательно, в первом случае
, а во втором
.
Пример 2. Расстояние
от точки (1, 1, 1)
до плоскости
равно
.
В данном случае точка (1, 1, 1) и
начало координат находятся по разные стороны от плоскости
, так как
и
.
ЗАДАЧИ
1. Привести уравнение плоскостей
,
к нормальному виду.
2. Найти угол между плоскостями
и
;
и
.
3. Написать уравнение плоскости,
проходящей через точки (0, 0 ,1), (1, 0, 1), (1, 1, 0).
4. Написать уравнение шаровой
поверхности с центром в начале координат, касающейся плоскости
.