§ 10. Прямая в пространстве

10.1 Уравнение прямой в каноническом виде

Рассмотрим в пространстве произвольную прямую . Отметим на ней точку , определяющую радиус, вектор  и лежащий на ней вектор , приложенный к точке . Произвольную текущую точку прямой  обозначим через  и ее радиус-вектор через . Вектор  можно записать в виде , где  - некоторое число (скаляр). Если действительная переменная  пробегает интервал , то конец вектора  пробегает всю прямую . Поэтому говорят, что равенство

                                                       (1)

есть уравнение прямой, проходящей через точку  и направленной в сторону вектора .

Рис. 23

На языке координат уравнение (1) распадается на три уравнения:

                                                        (1')

Исключая из них параметр , получим уравнения прямой (систему из двух уравнений)

,                               (1'')

 где , ,  одновременно не равны нулю. Уравнения (1'') называются уравнениями прямой в каноническом виде.

Замечание. Может случиться, что одно или два из чисел , ,  равно нулю. Тогда все же принято писать равенства (1") с нулем или двумя нулями в знаменателях. Такая запись становится тогда символической, но она удобна.

Пример 1. Уравнения

                          (2)

определяют прямую в пространстве, проходящую через точку (1, 2, 3) в направлении вектора (1, 0, 2).

Эти уравнения можно заменить на следующие им эквивалентные:

,    ,

т.е.

, .                                            (2')

Таким образом, рассмариваемая прямая есть пересечение двух плоскостей, определяемых уравнениями (2').

Пример 2. Уравнения прямой

эквивалентны следующим:

,   .