10.2 Расположение двух плоскостей.

Пусть заданы уравнеия двух плоскостей

,                                                       (3)

.                                                   (4)

Если коэффициенты первого из них соответственно пропорциональны коэффициентам второго (), то плоскости (3) и (4) параллельны или даже совпадают (при условии ) (см. § 9, (17) и (18)). В противном случае плоскости (3) и (4) пересекаются по прямой. В этом случае один из определителей

,    ,   

не равен нулю. Для определенности будем считать, что первый

.                                                                (5)

Тогда уравнения (3), (4) можно решить относительно , , и мы получим

                                                                  (6)

где , , ,  - некоторые числа. Уравнения (6) эквивалентны следующим:

.                                                            (7)

Мы видим, что при условии (5) уравнения двух плоскостей (3), (4) определяют прямую (7), т. е. геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям (3), (4). Она проходит через точку  и имеет направление вектора . Числа ,  или одно из них могут быть равными нулю, тогда уравнения (7) будут иметь символический характер.

Пример 3. Прямая, определяемая уравнениями , , есть, очевидно, координатная ось . К этому результату можно прийти и формально. Имеем

,  ,

откуда

,

т. е. мы получили уравнения прямой, проходящей через начало координат (0, 0, 0) в направлении векторе (0, 0, 1). Ясно, что эта прямая есть ось .

Пример 4. Найти угол между прямыми

,                                            (8)

.                                                          (9)

Векторы ,  лежат на наших прямых и, как мы условились, они приложены соответственно к точкам , . Поэтому угол  между этими векторами и будет углом между прямыми (8) и (9):

.

ЗАДАЧИ

1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (2, -1, 0) перпендикулярно к плоскости .

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1, -1, 2) и перпендикулярной к прямой, определяемой уравнениями, .