§ 11. Ориентация прямоугольных систем координат
11.1. Двумерная система координат.
На рис. 24 и 25 изображены системы координат
,
. Они различны - про них говорят, что они ориентированы противоположно. В случае рис. 24 поворотом оси
вокруг точки
на угол
можно совместить направление осей
и
, лишь если этот поворот совершить против часовой стрелки. В случае же рис. 25 этой цели можно достичь, лишь поворачивая ось
по часовой стрелке. Невозможно систему координат, изображенную на рис. 24, передвигая ее в рассматриваемой плоскости (!) как твердое тело, совместить с системой, изображенной на рис. 25, так, чтобы направления соответствующих осей совпали.

Рис. 24 Рис.25
На рис. 24, так же как на рис. 25, изображена пара неколлинеарных, выходящих из некоторой точки
векторов
и
. Передвигая эту пару как твердое тело в плоскости, достигнем того, чтобы точка
совпала с началом координат
. Поставим себе задачу путем вращения каждого из векторов
и
вокруг точки
достигнуть того, чтобы вектор
принял направление оси
, а вектор
оказался лежащим на оси
. При этом мы требуем, чтобы во время этого процесса векторы
и
все время находились в рассматриваемой плоскости и чтобы угол между ними не был равен 0 и
. Очевидно, всегда можно достигнуть этой цели. Вначале мы вращаем систему векторов
и
как твердое тело около точки
до совпадения вектора
с положительным направлением оси
. Так как векторы
и
не коллинеарны, то вектор
окажется в верхней или нижней полуплоскости. Затем вектор
поворачиваем на необходимый угол, чтобы он оказался на оси
, при этом не разрешается, чтобы вектор
попадал на ось
. Поэтому может случиться, что направление вектора
совпадает с направлением оси
(это возможно, когда вектор
был в верхней полуплоскости) или же вектор
окажется направленным в сторону отрицательного направления оси
((см. рис. 26, где показана динамика процесса). В первом случае мы будем говорить, что пара векторов
ориентирована как система координат
,
, а во втором, что пара
ориентирована противоположно риентацци
,
(как это случилось на рис. 26).

Рис. 26