§ 11. Ориентация прямоугольных систем координат

11.1. Двумерная система координат.

На рис. 24 и 25 изображены системы координат , . Они различны - про них говорят, что они ориентированы противоположно. В случае рис. 24 поворотом оси  вокруг точки  на угол  можно совместить направление осей  и , лишь если этот поворот совершить против часовой стрелки. В случае же рис. 25 этой цели можно достичь, лишь поворачивая ось  по часовой стрелке. Невозможно систему координат, изображенную на рис. 24, передвигая ее в рассматриваемой плоскости (!) как твердое тело, совместить с системой, изображенной на рис. 25, так, чтобы направления соответствующих осей совпали.

Рис. 24                                                                Рис.25

На рис. 24, так же как на рис. 25, изображена пара неколлинеарных, выходящих из некоторой точки  векторов  и . Передвигая эту пару как твердое тело в плоскости, достигнем того, чтобы точка  совпала с началом координат . Поставим себе задачу путем вращения каждого из векторов  и  вокруг точки  достигнуть того, чтобы вектор  принял направление оси , а вектор  оказался лежащим на оси . При этом мы требуем, чтобы во время этого процесса векторы  и  все время находились в рассматриваемой плоскости и чтобы угол между ними не был равен 0 и . Очевидно, всегда можно достигнуть этой цели. Вначале мы вращаем систему векторов  и  как твердое тело около точки  до совпадения вектора  с положительным направлением оси . Так как векторы  и  не коллинеарны, то вектор  окажется в верхней или нижней полуплоскости. Затем вектор  поворачиваем на необходимый угол, чтобы он оказался на оси , при этом не разрешается, чтобы вектор  попадал на ось . Поэтому может случиться, что направление вектора  совпадает с направлением оси  (это возможно, когда вектор  был в верхней полуплоскости) или же вектор  окажется направленным в сторону отрицательного направления оси ((см. рис. 26, где показана динамика процесса). В первом случае мы будем говорить, что пара векторов  ориентирована как система координат , , а во втором, что пара  ориентирована противоположно риентацци ,  (как это случилось на рис. 26).

Рис. 26