12.2. Геометрический смысл определителя второго порядка.

Рассмотрим теперь специально два ненулевых плоских вектора

,                                                          (3)

в некоторой прямоугольной системе координат ,  (рис. 30, 31). Будем считать, что рассматриваемая плоскость находится в пространстве и добавим к осям ,  перпендикулярную к ним ось . Векторы ,  будут теперь иметь координаты

.

Рис. 30                                                                Рис. 31

Векторное произведение их равно

,                                                    (4)

где  - орт оси . По определению векторного произведения система  ориентирована, как система координат , , . Поэтому, очевидно, если определитель

,

то система векторов  должна быть ориентирована, как оси координат . Если же определитель

,

то система  ориентирована противоположно ориентации , . На рис. 30 изображена первая ситуация расположения векторов , а на рис. 31 - вторая. Мы знаем также, что площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , равна (см. (4))

,

т. е. абсолютной величине определителя

.                         (5)

Итак, мы доказали, что: 1) абсолютная величина определителя (5) равна площади параллелограмма, построенного на векторах  и ; 2) знак определителя (5) зависит от расположения этих векторов относительно прямоугольной системы координат , . Знаку + соответствует система , ориентированная, как , , а знаку - соответствует системе , ориентированной противоположным образом.