12.3. Свойства векторного произведения.

Справедливы свойства

,                                                                (6)

,                                                          (7)

,                                                (8)

где , ,  - произвольные векторы,  - скаляр.

Если векторные произведения, входящие в равенства (6), (7), (8), выразить по формуле (1) через компоненты векторов

,, ,

 то легко получить эти равенства.

Формулы (6) и (7) легко следуют также из геометрических соображений. Пусть  и  - неколлинеарные векторы. Если в векторном произведении заменить местами  и , то площадь параллелограмма, построенного на  и , и перпендикуляр к  и  не изменятся. Изменится лишь направление  на противоположное, что влечет изменение ориентации .

Умножение на положительное число  вектора  увеличивает лишь в  раз площадь параллелограмма, построенного на  и , а направление векторного произведения останется прежним. Если же , то

.

Заметим еще, что из (6) и (7) следует также, что

.

Пример 1. Определить угол  треугольника  с вершинами , , . Обозначим искомый угол через . Таким образом,  это угол между векторами  и . Из второго определения векторного произведения имеем

,

где , , , ,

.

Отсюда

.

Так как  и , то необходимо взять .

Замечание. Если в треугольнике АВС угол  прямой, то =; если

 - тупой угол, то ; если  - острый угол, то .

Пример 2 (из механики). Пусть заданы две точки  и . К точке  приложена сила, определенная вектором . Пусть . Моментом силы  относительно точки  называется векторное произведение вектора  на вектор :

(см. рис. 32,  ).

Вектор  (момент силы ) перпендикулярен к векторам  и  и имеет длину, равную площади параллелограмма, построенного на векторах  и . Направление же вектора  зависит от той прямоугольной системы координат, которая задана в этом вопросе.

На рис. 32 взята левая система координат. Направление  взято так, чтобы векторы , ,  тоже образовали левую систему.

Рис. 32