§ 13. Смешанное (векторно-скалярное) произведение

Векторно-скалярным (смешанным) произведением векторов , ,  (в трехмерном действительном пространстве) называется скаляр, равный скалярному произведению вектора на вектор :

.                            (1)

В силу определения скалярного произведения

.

Поэтому можно еще, очевидно, сказать, что смешанное произведение  равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , ,  со знаком  или  в зависимости от того, будет ли система векторов , ,  ориентирована как система координат , ,  или противоположным образом. Отметим, что  равна высоте параллелепипеда.

Имеют место равенства

,                                                        (2)

которые легко следуют из свойств определителя (1).

Если векторы ,, ,  лежат в одной плоскости, то

,

так как  перпендикулярен вектору с. Обратно, если, то вектор  перпендикулярен вектору  и, следовательно, лежит в плоскости векторов  и или в плоскости, параллельной этой плоскости.

Таким образом, условие

есть необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов ,,.

Пример 1. Найти условие принадлежности четырех точек к одной плоскости.

Пусть даны четыре точки . Если эти точки лежат в одной плоскости, то векторы , ,  также лежат в этой плоскости, и, следовательно, их смешанное произведение равно нулю:

.

Это и есть условие принадлежности четырех точек одной плоскости (ср. §9, (12)).