§ 15. Линейные операторы

Зададим произвольную квадратную матрицу

. (1)

Матрицу можно рассматривать как оператор, приводящий в соответствие каждому вектору вектор , компоненты которого вычисляются по формулам

(2)

или, короче,

. (2')

Говорят, что -я координата вектора записывается с помощью -й строки . Этот оператор коротко будем записывать так:

(2'')

Замечание 1. Если и далее -комплексные числа, то надо считать комплексным пространством. Если же , - действительные числа, то может быть и действительным и комплексным пространством.

В случае одномерного пространства векторы и суть числа, и оператор (2") превращается в функцию

Оператор (2") линейный. Это значит, что он удовлетворяет условию

для любых векторов , и чисел , . В самом деле,

Если матрицы и равны, т. е. имеют равные соответствующие элементы , то они определяют тождественно равные операторы:

. (3)

Обратно, из равенства (3) вытекает, что

т. е. равенство матриц и . В этом легко убедиться, если положить в (3)

где 1 стоит на -м месте .

Таким образом, различным матрицам соответствуют различные операторы - если две матрицы , и отличаются хотя бы одним элементом, то обязательно существует вектор , для которого

Пусть, кроме , задан еще другой оператор , определяемый квадратной матрицей -го порядка

Каждому соответствует при помощи оператора вектор , которому при помощи оператора соответствует вектор с компонентами, вычисляемыми по формулам

В результате получим сложный линейный оператор

(4)

где

с матрицей , называемой произведением матриц и и обозначаемой так:

, (5)

где

, (6)

т.е. чтобы получить элемент матрицы (принадлежащий к ее -й строке и -му столбцу), надо элементы -й строки матрицы умножить на соответствующие элементы -того столбца матрицы и результат сложить.

Определитель матрицы равен произведению определителей матриц и :

(7)

Это свойство вытекает из формулы для произведения определителей (см. § 2, свойство к)).

Пусть матрица оператора (см. (1)) имеет определитель, не равный нулю:

В этом случае (см. § 4, теорема 1) система уравнений (2), или, что все равно, операторное уравнение имеет единственное решение при любом заданном . При этом формулы, по которым находится для заданного , имеют вид

. (8)

Здесь

(9)

(см. § 4, (З')), где - алгебраическое дополнение элемента в определителе .

Впрочем, для нас сейчас важно только отметить, что числа , являются элементами матрицы

обладающей следующими замечательными свойствами:

, (10)

. (11)

В самом деле, произвольный вектор переходит посредством оператора в некоторый вектор , который переходит посредством оператора обратно в . С другой стороны, каждому соответствует при помощи оператора (см. (8)) некоторый и притом такой, что .

В равенстве (11) можно, очевидно, вместо поставить другую букву, поэтому мы получили тождества

Оператор называется единичным оператором. Матрица, ему соответствующая, имеет вид

и называется единичной. Мы доказали, что

Оператор , обладающий этим свойством, называется обратным к оператору и обозначается через . Соответственно его матрица называется обратной матрицей к матрице и обозначается тоже через . Элементы матрицы находятся по элементам матрицы с помощью формул (9).

Мы доказали, что если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то она имеет обратную матрицу . Для , таким образом, выполняются свойства

Если определитель матрицы равен нулю , то она не имеет обратной матрицы. Достаточно сказать, что уравнение имеет решение не для всякого . Между тем свойство , если оно выполняется, утверждает, что каждому соответствует (при помощи оператора ) такой , что он есть решение уравнения .

Замечание. Операцию умножения матриц можно распространить и на неквадратные матрицы и , лишь бы число столбцов матрицы совпадало с числом строк матрицы . Тогда умножение матриц производим по формулам, подобным (6). Например, если

, , то .

Произведение в данном случае рассматривать нельзя, так как у матрицы два столбца, а у матрицы три строки.

Для квадратных матриц и произведения и имеют смысл, но далеко не всегда равно . Например, если

, ,

то

, ,

т.е. .

Легко проверить, что .

Если -линейный оператор, то запись можно рассматривать как произведение матрицы на одностолбцовую матрицу

Пусть заданы линейные операторы и . Суммой их называется оператор , определяемый равенством

Очевидно, матрица оператора совпадает с матрицей, равной сумме матриц операторов и .

Легко проверить, что

Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице

Матрица определяет линейный оператор , приводящий в соответствие каждому вектору вектор при помощи равенств

Эти равенства можно рассматривать также как линейную систему трех уравнений относительно неизвестных . Определитель этой системы не равен пулю. Но тогда ее можно решить при любых заданных . В результате получим равенства