§ 16. Базисы в Rn

В пространстве (действительном или комплексном) введем  векторов:

                                                                                       (1)

называемых ортами осей пространства .

Осью  пространств  называется множество точек вида , где  стоит на -м месте и пробегает все действительные (комплексные) значения, а вектор  называется ортом оси .

Если  есть произвольный вектор (действительный в действительном  или комплексный в комплексном ), то его можно, очевидно, записать в виде линейной комбинации из векторов (1) следующим образом:

.                                                (2)

Так как из равенства  следует, что , то система  линейно независима.

Зададим произвольную систему из  линейно независимых векторов

                                                                                                           (3)

Как мы знаем (см. § 14, теорема 1), система (3) линейно независима, если определитель

.                                                                     (4)

Если же , то система (3) линейно зависима.

Согласно теореме 1 § 14 любые  векторов в пространстве  линейно зависимы, так как ранг матрицы из компонент этих векторов не превышает . Поэтому, если произвольный вектор и система векторов (3) линейно независима , то система векторов  линейно зависима, т. е. существуют числа , одновременно не равные нулю, такие, что

,

где  (иначе система (3) была бы линейно зависимой). Отсюда

,                                                                       (5)

где  . Выразим сумму (5) через орты  (см.(2)):

.

С другой стороны, по (2)

.

В силу линейной независимости системы  коэффициенты при одинаковых векторах  должны быть равны

.                                                      (6)

Таким образом, если компоненты  вектора  по системе  известны, то компоненты  этого вектора по системе  находятся из (6) и притом единственным образом, так как определитель системы (6) есть .

Мы доказали, что, какова бы ни была линейно независимая система векторов , любой вектор , можно разложить по этой системе, т. е. представить в виде суммы (5), где  - некоторые числа, определяемые из (6) и притом единственным образом.

В этом смысле систему векторов  называют базисом в , желая этим сказать, что любой вектор  можно представить в виде линейной комбинации (5) из этих векторов и притом единственным образом. Мы доказали, что произвольная линейно независимая система из  векторов в  есть базис в .

Линейно независимая система из  векторов

,

где , не есть базис в . В самом деле, ранг матрицы компонент этих векторов равен . Будем считать, что первые  столбцов этой матрицы образуют определитель, не равный нулю. Расширим эту матрицу, приписав к ней внизу строку

,

где 1 стоит на -м месте. Расширенная матрица имеет ранг , и, следовательно, система векторов  линейно независима. Но тогда вектор  не может быть линейной комбинацией из векторов системы , и эта система не есть базис в . Обозначим через

матрицу векторов .

Переход от базиса  к базису  осуществляется при помощи матрицы :

,                                                         (7)

т. е. вектор  выражается через векторы  с помощью -й строки матрицы . Обратный переход от  к  происходит при помощи обратной матрицы  (см. § 15, (9))

,                                                                   (8)

элементы которой вычисляются по формулам , где  адъюнкт элемента  в определителе  (обратим внимание, что элемент  принадлежащий -й строке и -му столбцу, выражается через адъюнкт  элемента , принадлежащего -й строке и -му столбцу). Отметин еще, что

,

откуда

                                                                        (9)

т.е. переход от координат  к  происходит при помощи матрицы (см. §3)

.

Из (9) видно, что  выражается через  с помощью -го столбца матрицы  или

-й строки матрицы , транспонированной к .

Далее по формуле (6)

видно, что переход от  к  совершается при помощи матрицы  транспонированной к , т. е. , выражается через  с помощью -й строки матрицы  или -го столбца матрицы .

Замечание. В § 15 было установлено, что произвольная квадратная матрица

                                                                (10)

Определяет линейный оператор , задаваемый по формулам

.                                        (11)

Но имеет место и обратное утверждение: каков бы ни был линейный оператор , он определяется некоторой матрицей (10) так, что вектор  вычисляется по вектору  по формулам (11).

В самом деле, пусть задан произвольный линейный оператор . Обозначим образы ортов  при его помощи следующим образом:

.

Тогда в силу линейности  любой вектор

отображается при помощи  в вектор , определяемый равенствами

,

откуда следует, что -я компонента  определяется по формуле (11). Таким образом, оператор  порождает матрицу (10), у которой в столбцах стоят координаты образов базисных векторов (ортов) при помощи оператора .

Пример 1. Найти матрицу линейного оператора (преобразования) , заключающегося в повороте векторов плоскости , выходящих из начала, на угол  против часовой стрелки.

Возьмем за базис векторы , . Тогда, очевидно, что (рис. 34)

,

.

Рис. 34

Поэтому матрица нашего оператора имеет вид

.