§ 17. Ортогональные базисы в Rn

Говорят, что два ненулевых вектора ,, имеют одинаковое (одно и то же) направление, если существует положительное число такое, что .

Произвольный ненулевой вектор можно, как говорят, нормировать, заменив его на единичный вектор

имеющий то же направление, что и вектор .

Единичный (имеющий норму (длину), равную 1) вектор называют нормальным.

Два вектора и в пространстве называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: .

Здесь может быть действительным или комплексным. В случае комплексного скалярное произведение определяется, как в § 6, (5').

Система векторов

(1)

называется ортогональной, если любые два ее вектора ортогональны. Система векторов (1) называется ортогональной и нормальной или ортонормированной, если

т. е. все векторы системы нормальны и попарно ортогональны. Если система векторов (1) ортогональна и ни один вектор системы не равен нулевому, то, нормируя их, получим, очевидно, ортонормированную систему. Ортонормированная система (1) линейно независима. В самом деле, пусть

где - числа. Умножив это равенство скалярно на , получим, очевидно,

Но тогда ортонормированная система из векторов в есть базис и, следовательно, каждый вектор можно представить в виде линейной комбинации

. (2)

Умножая это равенство скалярно на . получим

и, следовательно,

Число называется проекцией вектора на направление вектора .

В реальном действительном пространстве величина есть обычная числовая проекция вектора на направление вектора .

Теорема 1. Ортонормированную систему векторов

можно пополнить до ортонормированного базиса в. Иначе говоря, можно указать векторы такие, что система

(3)

будет ортонормированной и, следовательно, будет базисом в .

Доказательство. Так как , то в существует вектор , не зависящий линейно от . Но тогда

где . Вектор ортогонален ко всем векторам . В самом деле,

. (4)

Пронумеровав , получим вектор

и система

будет ортонормированна. Если , то мы получили базис в . Если нет, то этот процесс продолжаем. На -м этапе получим базис (3) в .

Система ортов осей в

может служить примером ортонормированного базиса в . Произвольный вектор разлагается по ортам следующим образом:

, (5)

где - проекция вектора на направление орта .

Пусть задана некоторая определенная ортонормированная система из векторов

(6)

или

. (7)

Переход от векторов к здесь осуществляется при помощи матрицы

, (8)

т. е. вектор выражается через с помощью -й строки матрицы .

В дальнейшем мы считаем пространство и матрицу действительными (см. далее замечание 1).

Матрица ортогональна, т. е. обладает следующим свойством

. (9)

В самом деле, так как в данном случае система ортонормирована, то

. (10)

Мы видим, что и, обратно, ортогональность матрицы (8) влечет за собой ортонормируемость системы векторов , определенных по формулам (7).

Это показывает, что формулы (7), где - произвольные ортогональные матрицы, определяют все возможные ортонормированные базисы в .

Помножим вектор на вектор скалярно:

. (11)

Отсюда

. (12)

Таким образом, переход от базиса к базису осуществляется при помощи матрицы , транспонированной к . Так как преобразование (12) обратно преобразованию (7) (см. § 15), то мы попутно доказали, что ортогональная матрица обладает следующим замечательным свойством (в действительном ):

. (13)

Из (12) следует

, (14)

Ортогональная матрица была определена нами как такая матрица, у которой строки (векторы, представляющие их) нормальны, а разные строки ортогональны. Из этого определения, как это видно из (14), автоматически следует, что у ортогональной матрицы и столбцы нормальны, а разные столбцы ортогональны.

Переход от к совершается при помощи матрицы, так как (считая, что ) (см.(11))

. (15)

Переход же от к совершается при помощи (см. (13)) матрицы транспонированной к , т. е.

Отметим, что определитель произвольной ортогональной матрицы (см. (6)) по абсолютной величине равен 1: .

Это следует из того, что

Здесь мы считаем, что элемент произведения определителей равен сумме произведений элементов -й строки на соответствующие элементы -й строки (см. § 2, свойство к)). Отметим еще, что определитель из компонент векторов базиса равен 1:

Если ортогональный базис имеет определитель (см. (6)), то говорят, что этот базис ориентирован так же, как базис . Если же , то - противоположным образом. Эти определения согласуются с соответствующими определениями в двумерном и трехмерном случаях, сделанными в § 11 и в § 12.

Замечание 1. В комплексном пространстве матрица (8), где комплексные, называется ортогональной, если

. (9')

Покажем, что ортонормированная система векторов (6) в комплексном порождает ортогональную матрицу (см. (8)). В самом деле, в комплексном скалярное произведение векторов подчиняется свойствам (см. § 6, б'), в'))

где - комплексные числа. Поэтому

Но тогда для ортонормированной системы векторов имеет место

, (10')

т. е. матрица ортогональна. Мы видим, что и, обратно, ортогональность влечет ортонормированность векторов , определенных по формулам (7).

Помножим вектор на скалярно (см. (7)):

Отсюда

. (12')

Таким образом, переход от базиса к базису осуществляется при помощи матрицы

Так как преобразования (11') обратны преобразованиям (7), то попутно показано, что ортогональная матрица обладает следующим свойством (в комплексном ):

. (16)