§ 19. Преобразование прямоугольных координат в плоскости

Рассмотрим плоскость , где задана прямоугольная система координат . Пусть

- орты осей . Орты образуют ортонормированный базис в .

Произвольный единичный (нормальный) вектор может быть записан следующим образом:

Единичный ортогональный (перпендикулярный) к вектор, который мы обозначим через , может соответствовать только либо углу , либо . Так как

, ,

то всевозможные ортонормированные системы , в определяются либо равенствами (рис. 35)

, (1')

соответствующими вращению осей около начала на угол и сохранению ориентации, либо равенствами (рис. 36)

(1'')

соответствующими вращению осей около начала на угол и изменению ориентации.

Оба преобразования объединяются в следующей формуле:

(1)

Рис. 35 Рис.36

где матрица преобразования

(2)

ортогональна (сумма квадратов элементов каждой из ее строк или столбцов равна 1, а скалярное произведение двух разных строк или столбцов равно 0).

Любое определенное ортогональное преобразование (1) есть на самом деле одно из преобразований (1'), (1") при некотором .

Из (1) в силу ортогональности матрицы (2) следует, что

(3)

и мы получили преобразование, обратное преобразованию (1), с матрицей

сопряженной к .

Зададим в плоскости произвольный вектор (точку) . Пусть он имеет в старой и новой системе координаты и . Тогда

. (4)

В силу формул (3) и (4)

Поэтому, приравнивая компоненты при одинаковых ортах , , получим

(5)

В силу же формул (1) и (4)

откуда, приравнивая компоненты при и , получим формулы, обратные к (5):

(6)

Если наряду с преобразованием (6) перенести еще начало осей , в точку , имеющую координаты , , то формулы (6) усложнятся, очевидно, следующим образом: