§ 20. Линейные подпространства в Rn

Множество в () называется линейным подпространством пространства или, короче, подпространством в , если из того, что два каких-либо вектора и принадлежат к (), автоматически следует, что вектор тоже принадлежит к (), где , - числа. Подпространство называется m-мерным, если в нем имеется линейно независимая система , состоящая из m векторов, и нет системы, состоящей из линейно независимых векторов.

Таким образом, если - произвольный вектор в (), то система , а линейно зависима, т.е. существует нетривиальная система чисел такая, что

. (1)

Здесь , иначе было бы

и вследствие линейной независимости системы было бы и вся система была бы тривиальной. Тогда уравнение (1) можно решить относительно :

, (2)

т.е. представить в виде линейной комбинации из векторов . С другой стороны, линейная комбинация вида (2) принадлежит к , потому что - подпространство. В этом смысле говорят, что система есть базис в . Очевидно, любая другая линейно независимая система векторов , принадлежащих к , есть базис в .

Если разложить векторы по векторам , то получим

По аналогии с тем, как мы рассуждали в § 16 для (где теперь надо заменить и соответственно на , ), можно получить, что система линейно независима тогда и только тогда, когда определитель , и что любая независимая система, состоящая из векторов, уже не может быть базисом в .

Пространство можно рассматривать как подпространство , имеющее измерений.

Множество, состоящее из одного нулевого вектора 0, есть линейное подпространство (). Про него говорят, что оно имеет 0 измерений. Вектор 0 не образует линейно независимой системы - из равенства, где - число, не обязательно следует, что есть нуль.

Если вектор , то множество векторов вида , где - произвольное число, есть одномерное подпространство. В качестве базиса в нем можно взять вектор .

Пусть есть линейное подпространство в . Будем говорить, что вектор ортогонален к , если он ортогонален к любому вектору . Обозначим через множество всех векторов, ортогональных к . есть подпространство. В самом деле, пусть , т. е.

Тогда для любых чисел ,

т.е. .

По определению подпространство называется ортогональным к данному подпространству , если есть множество всех векторов, каждый из которых ортогонален к .

Ниже доказывается теорема, выясняющая структуру произвольного подпространства и ему ортогонального подпространства . В частности, из нее следует, что если ортогонально к , то и, обратно, ортогонально к .

Теорема 1. Пусть есть линейное подпространство, отличное от и нулевого подпространства. Тогда:

а) существует целое число , удовлетворяющее неравенствам

, (3)

и ортонормированный базис

(4)

в ; если этот базис продолжить любым способом до ортонормированного базиса в :

, (5)

то линейное подпространство с базисом

(6)

обладает следующими свойствами:

б) есть подпространство, ортогональное к

в) есть подпространство, ортогональное к ;

г) любой вектор можно представить в виде суммы

где , и при этом единственным образом.

Доказательство. По условию отлично от нулевого подпространства, следовательно, в существует вектор , отличный от 0. Нормируя , получим нормальный вектор

Обозначим через любой, принадлежащий к нормальный вектор, ортогональный к , если такой существует. Далее, обозначим через принадлежащий к нормальный вектор, ортогональный к и , если такой существует. Этот процесс закончится на некотором -м этапе, где удовлетворяет неравенствам (3), т. е. найдется ортонормированная система векторов (4), принадлежащих к , но уже не будет в единичного вектора, ортогонального к векторам . В самом деле, , потому что заведомо . С другой стороны, не может быть равным . В противном случае векторы принадлежали бы к и вместе с ними принадлежали бы к подпространству все линейные комбинации , и тогда получилось бы, что совпадает с , но отлично от . Полученная ортонормированная система есть
базис в . В самом деде, вместе с векторами принадлежат к , и все их линейные комбинации . Но больше в других векторов нет, потому что, если допустить, что некоторый вектор не есть такая линейная комбинация, то можно было бы записать в виде суммы

, (7)

где . Так как векторы и принадлежат к подпространству , то пришлось бы заключить, что вектор

тоже принадлежит к . Но вектор ортогонален ко всем (см. § 17, (4)). Пронормированный вектор

(8)

тоже принадлежал бы к и был бы ортогональным ко всем . Но это невозможно в силу максимального свойства числа . Этим доказано утверждение а) теоремы.

Дополнение ортонормированной системы (4) до ортонормированного базиса (5) осуществляется на основании теоремы 1 § 17. Обозначим через подпространство всех линейных комбинаций из векторов системы (6). Каждый такой вектор, очевидно, ортогонален к любому вектору , который представляется в виде суммы . С другой стороны, если , есть произвольный вектор, ортогональный ко всем векторам , в частности к , то его разложение по базису (5) имеет вид

т.е. . Мы доказали утверждение б) теоремы.

Далее, любой вектор ортогонален ко всем векторам и, если известно, что какой-либо вектор ортогонален ко всем векторам из , в частности к , то , т. е. . Мы доказали утверждение в).

Наконец, если - произвольный вектор, то его единственным образом можно представить в виде суммы

где

Этим теорема 1 доказана полностью.

Теорема 2. Пусть есть подпространство измерений в . Тогда подпространство , ортогональное к , имеет измерений и при этом есть в свою очередь подпространство, ортогональное к .

Доказательство. Если отлично от и от нулевого подпространства, то данная теорема содержится, очевидно, в теореме 1.

Пусть есть нулевое подпространство. Так как любой вектор ортогонален к 0, то и измерение равно . Обратно, вектор 0 ортогонален ко всем векторам . Других векторов, ортогональных ко всем векторам , нет, потому что всякий отличный от 0 вектор уже не ортогонален к самому себе. Мы доказали, что ортогонально к .

Если , то рассуждаем подобным образом.

Следствие 1. Пусть задача система векторов

, (9)

и пусть есть подпространство векторов , каждый из которых ортогонален к векторам этой системы:

Пусть, далее, дан вектор , ортогональный ко всем указанным векторам , т. е. ортогональный к подпространству . Тогда есть некоторая линейная комбинация из векторов заданной системы (9)

Доказательство. Рассмотрим подпространство , состоящее из всевозможных линейных комбинаций векторов системы (9), т. е. всякий вектор есть некоторая линейная комбинация

В этом случае будем также говорить, что подпространство натянуто на векторы системы (9).

Так как всякий вектор ортогонален к векторам системы (9), то он, очевидно, ортогонален к любому вектору . Это показывает, что подпространство ортогонально к подпространству . Но тогда по теореме 2 и ортогонально к , т. е. состоит из всех векторов , ортогональных к . По условию есть один из таких векторов , следовательно, есть некоторая линейная комбинация из векторов системы (9).