§ 21. Теоремы фредгольмова типа

В этом параграфе излагается теория линейных уравнений, параллельная теории, изложенной в § 4.

Это бездетерминантная теория. В ее формулировки определитель системы уравнений явно не входит. Преимущество ее заключается в том, что она послужила основой и аналогом для многих обобщений в математическом анализе. Первые такие важные обобщения принадлежат Фредгольму.

Мы снова рассматриваем линейный оператор (см. § 15) :

, (1)

приводящий в соответствие каждому вектору вектор при помощи равенств

(2)

Здесь

(3)

- заданная квадратная матрица. Оператору соответствует сопряженный ему оператор

, (1*)

определяемый сопряженной к (3) матрицей

(3*)

При помощи компонент векторов он записывается в виде

(2*)

т.е. компонента выражается через координаты вектора с помощью -й строки матрицы или -го столбца матрицы .

Справедливо равенство

, (4)

верное для всех . В самом деле, для действительных и

В комплексном случае

Равенство (4) характерно для сопряженного оператора, потому что, если для некоторого линейного оператора выполняется равенство

, (5)

то необходимо . Действительно, , для действительных , ,

Из (5) следует, что

, (6)

откуда , в чем можно убедиться, если положить в (6) и , где у единица стоит на -м месте, а у на -м месте. В комплексном случае

откуда или .

Таким образом, сопряженный оператор к линейному оператору можно также определить как такой линейный оператор, для которого выполняется равенство (4).

Равенства (1) и (1*) можно рассматривать как уравнения - задан вектор , и мы ищем , для которого выполняется равенство (1) или (1*).

Соответствующие однородные уравнения имеют вид

(10)

или

(20)

(10*)

или

. (20*)

Обозначим через образ пространства при помощи оператора :

- и через подпространство всех векторов , удовлетворяющих однородному сопряженному уравнению (10*).

Мы назвали подпространством, потому что вместе с , к нему принадлежат также , где и - числа:

есть тоже подпространство, потому что, если , , то существуют векторы , такие, что , , и, следовательно,

т.е. .

Справедлива лемма (см. § 20, теорема 2).

Лемма 1. Подпространства и взаимно ортогональны, т. е. есть множество всех векторов , каждый из которых ортогонален к , а в свою очередь есть множество всех векторов , каждый из которых ортогонален к . Если имеет измерений, то имеет измерений.

Доказательство. Обратимся к равенству

, (7)

верному для всех . Пусть есть вектор, ортогональный к , тогда для него левая часть (7) равна нулю для всех , но тогда и правая часть равна нулю для всех , в частности для :

Следовательно, . Мы доказали, что если вектор ортогонален к , то он удовлетворяет уравнению (т.е. ).

Обратно, пусть вектор удовлетворяет уравнению . Для такого правая часть (7) равна нулю при любых , но тогда и левая равна нулю, т. е. ортогонален ко всем векторам вида , т. е. ко всем векторам . Другими словами, ортогонален к .

Мы доказали, что есть множество всех векторов , ортогональных к подпространству . Но тогда на основании теоремы 2 § 20 и, обратно, есть множество всех векторов , ортогональных к , и сумма измерений и равна . Лемма доказана.

Справедлива теорема.

Теорема 1. Для того чтобы уравнение

(1')

имело решение для данного вектора , необходимо и достаточно, чтобы вектор был ортогональным ко всем векторам , удовлетворяющим однородному сопряженному уравнению

. (10*)

Решение уравнения (1), если оно существует, можно записать в виде суммы

где - какое-либо частное решение уравнения (1), а - произвольное решение однородного уравнения

. (10)

Любая указанная сумма есть решение (1').

Доказательство. В силу леммы 1, если , а есть множество всех , удовлетворяющих уравнению , то и суть подпространства, ортогональные взаимно. Но тогда, если для существует решение уравнения (1), то и необходимо все ортогональны к . Если же вектор ортогонален ко всем , то , т. е. существует , для которого .

Пусть теперь для вектора существует решение уравнения (1'). Обозначим его через :

Тогда, очевидно, сумма , где , есть тоже решение уравнения (1'):

Обратно, если есть произвольное решение уравнения (1'), а - определенное частное решение, то

и, следовательно,

где , т. е. , где удовлетворяет уравнению .

Замечание. Поясним на примере действительного пространства связь теоремы 1 с теорией Кронекера-Капелли. Пусть вектор ортогонален ко всем решениям системы

(8)

Покажем, что тогда ранги матрицы и расширенной матрицы

равны между собой. Если ранг , то, очевидно, ранг . Пусть ранг . Всегда ранг ранг . Поэтому нам необходимо доказать, что

В самом деле, так как ортогонален к решениям системы (8) (нетривиальным), то . Поэтому, считая, что ,

Отсюда следует, что ранг = ранг = 1.

Обратно, пусть вектор таков, что ранг = ранг , тогда (1) имеет некоторое решение . Докажем, что ортогонален к решениям системы (8). В самом деле,

Теорема 2. Однородные уравнения

(10)

(10*)

имеют одинаковое число линейно независимых решений.

В частности, если одно из этих уравнений имеет только тривиальное решение 0, т.е. имеет нуль независимых решений, то это верно и для другого.

Замечание. В последнем случае уравнение (1) имеет единственное решение.

Доказательство. Матрицы и имеют один и тот же ранг, который обозначим через . Они имеют также один и тот же определитель .

Если , то и уравнения (10) и (10*) имеют только тривиальные решения 0. В этом случае, согласно теореме 1, уравнение (1) имеет единственное решение при любых .

Пусть теперь . После соответствующей перенумерации уравнений и компонент определитель

Первые уравнений (1°) теперь запишем в виде

(9)

Ниже приводится таблица векторов

(10)

Чтобы получить первый вектор, подставляем в систему (9)

и решаем ее относительно . Единственные решения, которые здесь получаются, обозначим через . Чтобы получить второй вектор, подставляем в (9)

и находим числа и т. д. Векторы (10) обладают следующими свойствами.

1) Система векторов (10) линейно независима, потому что ранг матрицы этих векторов равен числу этих векторов .

2) Каждый вектор системы (10) есть решение (любых) уравнений () или .

3) Всевозможные решения уравнения имеют вид

где - произвольные числа.

Обычно эти три утверждения заменяют словами: уравнение () имеет линейно независимых решений.

Подобными рассуждениями, учитывая, что ранг ранг , доказываем, что уравнение тоже имеет линейно независимых решений. Теорема доказана.

Теорема 3. Если одно из однородных уравнений () или () имеет линейно независимых решений, то и другое имеет линейно независимых решений; образы же и пространства , получаемые при помощи операторов и , суть подпространства измерений.

Доказательство. Первое утверждение теоремы о равенстве количеств линейно независимых решений однородных уравнений () и () есть теорема 2, а второе - есть лемма 1, в силу которой измерение подпространства , равно , где — измерение подпространства векторов , удовлетворяющих уравнению . Аналогично измерение равно , где - количество измерений подпространства векторов , удовлетворяющих уравнению .