§ 22. Самосопряженный оператор. Квадратичная форма

Линейный оператор

(1)

или, коротко,

(2)

называется самосопряженным, если он равен своему сопряженному (), т.е. если

, (3)

иначе говоря, если матрица симметрическая:

(4)

(см. (3) и (3*) § 21). Мы считаем и действительными (см. ниже замечание 1).

Для самосопряженного оператора имеет место характерное равенство

(см. § 21, (4)). Очевидно,

. (4')

Выражение справа в (4') называется квадратичной формой -го порядка. Это непрерывная функция от вектора или, что все равно, от переменных

Будем рассматривать эту функцию на множестве значений , имеющих единичную норму . Множество есть сфера в радиуса 1 с центром в точке 0. -ограниченное множество. Кроме того, оно замкнуто: если точки последовательности принадлежат к (т.е. ) и эта последовательность стремится к некоторой точке , то неминуемо , т. е. , потому что , откуда .

Найдем максимум квадратичной формы (4') на сфере . Так как форма (4') есть непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве, то максимум ее на достигается для некоторого единичного вектора . Обозначим этот максимум через :

. (5)

Введем подпространство , ортогональное к вектору , т. е. множество всех векторов , каждый из которых ортогонален к . В возьмем произвольный единичный вектор . Вектор

зависит от и имеет единичную норму

При этот вектор обращается в . Но тогда функция

достигает своего максимума в точке и в силу необходимого условия экстремума

Вычислим эту производную. Имеем

Следовательно,

Мы получили, что вектор ортогонален ко всем единичным векторам , следовательно, и к любым векторам . Но тогда отличается от лишь множителем (см. следствие 1 в конце § 20), т. е.

где - некоторое число.

Из первого соотношения (равенства) в (5), учитывая, что , следует

Таким образом, мы доказали, что максимум квадратичной формы (4') на единичной сфере достигается в некоторой точке ,

При этом

Мы видим, что нетривиальный (не равный нулю) вектор отображается при помощи оператора в вектор , ему коллинеарный.

Такой вектор называется собственным вектором оператора , а число - принадлежащим этому вектору собственным значением.

Будем теперь рассматривать оператор на подпространстве , определяемом как множество векторов , ортогональных к вектору (выше мы его обозначали через ). есть -мерное подпространство - в нем имеются ортонормированные базисы, состоящие из векторов. Цель наша заключается в подыскании одного такого базиса, как мы увидим, естественно связанного с оператором .

Важно подчеркнуть, что образ подпространства при помощи оператора принадлежит к , потому что, если , то

т. е. .

Самосопряженность оператора на тривиальным образом сохраняется, потому что равенство

верное для всех , верно также для всех .

Итак, мы теперь рассматриваем самосопряженный линейный оператор на линейном подпространстве измерения . К нему можно применить приведенные выше рассуждения и обнаружить в существование единичного вектора такого, что

Дело в том, что единичная сфера в определяется, очевидно, как множество единичных векторов , ортогональных к . При этом

Мы нашли второй собственный вектор оператора - вектор и принадлежащее к нему собственное значение , очевидно, не превышающее (при уменьшении области рассмотрения максимум может только уменьшиться). При этом .

Подобным образом можно ввести подпространство , измерения , ортогональное к векторам и , показать, что оператор отображает в и определить третий единичный вектор , ортогональный к и к такой, что для него имеет место

Продолжив этот процесс по индукции до -го вектора , мы получим ортонормированную систему векторов

(6)

и систему действительных чисел

, (7)

обладающих свойствами

(8)

Мы получили полную систему собственных векторов оператора и принадлежащих им собственных значений. Так как ортонормированная система (6) принадлежит к и состоит из векторов, то она есть базис в (см. § 17). Поэтому произвольный вектор можно разложить по этой системе:

. (9)

Тогда наш самосопряженный оператор может быть записан следующим образом:

. (10)

Мы доказали теорему.

Теорема 1. Самосопряженному оператору в пространстве соответствует ортогональная система векторов (базис ) и система действительных чисел такие, что для любого представляется в виде суммы (10).

Квадратичная форма (4') соответственно записывается следующим образом:

. (4'')

На практике часто мы исходим из некоторой квадратичной формы

. (4')

Чтобы применить к ней полученные результаты, можно определить в связи с ней линейный оператор

определяемый равенствами

В силу условия это самосопряженный оператор, и к нему применима теорема 1. На языке квадратичной формы теорема 1 может быть переформулирована следующим образом.

Теорема 2. Пусть задана квадратичная форма (4') в -мерной системе координат пространства с ортами . Существует прямоугольная система координат с ортами , образующими ортогональный базис , и система действительных чисел такие, что квадратичная форма (4') в этой системе есть сумма квадратов координат вектора , помноженных соответственно на числа :

. (4''')

Переход от левой части (4''') к правой можно осуществить, если известны разложения векторов по ортам . Пусть

(см. § 17, (7), где надо заменить , соответственно на ). Так как и - ортонормированные базисы в , то матрица

ортогональная. Мы считаем, что она известна. Один и тот же вектор можно разложить по двум базисам:

Но тогда

и в силу линейной независимости системы получим

(11)

Таким образом, переход от координат к координатам осуществляется посредством матрицы , транспонированной к (т. е. с помощью строк матрицы или столбцов матрицы ).

Если подставить выражения (11) для в левую часть (4'"), то должны получить правую. Запишем это равенство:

где - символ Кронекера.

Если приравнять коэффициенты при одинаковых , то получим равенства

которые можно трактовать следующим образом (см. § 15, (6)). Для матрицы

самосопряженного оператора существует ортогональная матрица

такая, что

, (12)

где - некоторая диагональная матрица

(13)

( — действительные числа), называемая канонической.

Отметим, что для ортогональной действительной матрицы

Так как определители ортогональных матриц , то из (12) следует

. (14)

Мы доказали, в частности, следующую теорему.

Теорема 3. Если определитель самосопряженной матрицы неравен нулю , то все ее собственные числа не равны нулю .

Из теоремы 2 следует, что

1) Если , то квадратичная форма положительная для любых векторов , а следовательно, и любых векторов . В этом случае она называется строго положительной.

2) Если , то форма отрицательная для любых , следовательно, и любых . В этом случае она называется строго отрицательной.

3) Если и , то форма неотрицательная. Существует направление, (ось ), вдоль которого она равна нулю. Это положительная форма, но не строго.

4) Если , то форма отрицательная не строго.

5) Если , а , то форма неопределенна. Если исключить нулевую точку, то вдоль оси она положительная, вдоль же оси - отрицательная.

Оказывается, что по виду матрицы , по знаку некоторых порождаемых ею определителей можно узнать, будут ли ее собственные числа все положительные, все отрицательные или среди них есть как положительные, так и отрицательные. В этом заключается теорема Сильвестра.

Составим ряд главных миноров квадратичной формы :

Согласно теореме Сильвестра, которую мы не доказываем, имеют место следующие утверждения:

1. Если , то форма строго положительна (случай 1)).

2. Если , то форма строго отрицательная (случай 2)).

3. Если или и имеется , при котором , то форма заведомо не строго определенна.

4. Во всех остальных случаях квадратическая форма неопределенна.

Замечание 1. Если - комплексное пространство, а — по-прежнему действительные числа, то рассуждения, приведенные выше, мало отличаются. Формула (4') теперь записывается так

Число остается действительным, потому что

Это показывает, что приведенные выше факты (формулы (4')-(10)) остаются неизменными. В частности числа и в случае комплексного действительны. Теорема 1 полностью сохраняется для комплексного . Формула (4") теперь имеет вид

т. е. теперь уже квадраты чисел надо заменить на квадраты их модулей. Формула (4'") теперь уже выглядит следующим образом:

а в остальном теорема 2 остается в силе.

Замечание 2. Отметим, что действительность собственных значений самосопряженного линейного оператора и (действительном или комплексном) можно доказать следующим образом. Пусть - собственное значение оператора и - принадлежащий к нему собственный вектор. Так как , то

Ортогональность собственных векторов оператора, принадлежащих разным собственным значениям, тоже можно доказать непосредственно. В самом деле,

тогда

Так как , то .