§ 23. Квадратичная форма в двухмерном пространстве

При квадратичная форма имеет вид

, (1)

так как (мы считаем действительными).

Чтобы привести форму (1) к сумме квадратов координат вектора в некотором базисе , надо (см. § 22) найти базисные орты , — собственные векторы самосопряженного оператора , порожденного симметрической матрицей

Укажем способ нахождения собственных значений (чисел) и собственных векторов оператора , отличный от метода § 22.

Итак, если — собственное число оператора и - соответствующий ему собственный вектор, то

Перепишем это уравнение в координатной форме:

(2)

или в операторной форме:

, (2')

где - тождественный оператор.

Таким образом, однородная система (2) имеет ненулевое решение , что может быть, если определитель системы (2) или (2') равен нулю:

Итак, собственное число является корнем уравнения

, (3)

которое называется характеристическим уравнением оператора (или квадратичной формы ).

Верно и обратное утверждение. Если является корнем уравнения (3), то нетривиальное решение системы

(4)

будет собственным вектором самосопряженного оператора .

Следовательно, собственные числа оператора находятся в данном случае как корни квадратного уравнения (3):

Решая это уравнение, получаем

(5)

Отсюда видно, что , при этом в случае , . Будем для определенности считать, что (иначе меняем на и на ). Тогда

Из (5) следует, что собственные значения оператора (самосопряженного) — действительные числа.

Теперь по известным собственным числам и найдем собственные единичные векторы, как решения системы (4). Так как , то

ранг .

Если , то в этом случае матрица состоит на одних нулей , т. е. ее ранг равен нулю. В этом случае квадратичная форма уже приведена к сумме квадратов . Системе (4) удовлетворяет любой вектор . Поэтому за собственные векторы можно взять орты системы координат . Любая другая система ортонормальных векторов обладает тем свойством, что в этой системе квадратичная форма по-прежнему состоит из одних квадратов.

Теперь, если , то либо , либо , . Второй случай можно не рассматривать, так как форма (1) уже приведена к сумме квадратов. Итак, пусть . Тогда

ранг .

Поэтому достаточно рассмотреть одно уравнение системы (4):

Отсюда имеем

Вектор

является решением системы (4). Нормируя этот вектор, получим собственный вектор

Проводя элементарные преобразования, можно получить равенства

(6)

В дальнейшем достаточно брать в формулах (6) знак +. Совершенно аналогично по собственному числу найдем собственный вектор . Оказывается, что

Составим теперь матрицу оператора (ортогонального преобразования) , переводящего орты в орты:

(в строках стоят координаты образов базисных ортов и при помощи , т. е. ). Тогда координаты вектора в системе связаны с координатами этого вектора в системе с помощью столбцов матрицы :

(7)

Подставляя эти значения в квадратичную форму (1) и учитывая формулы (5) и (6), получим

. (8)

Правая часть этого равенства называется каноническим видом квадратичной формы.

Если числа и одного знака, то будем говорить, что квадратичная форма принадлежит эллиптическому типу; если и разных знаков, то гиперболическому типу; если же одно из чисел или равно нулю, то параболическому типу.

Из (5) видно, что . Поэтому тип формы (1) можно определить по знаку выражения .