§3. Матрицы
Таблица чисел
(действительных или комплексных) вида
, (1)
состоящая из
строк и
столбцов, называется матрицей. Числа
называются ее элементами. Это прямоугольная матрица. При
она называется квадратной матрицей
-го порядка.
Если задана вторая матрица
с элементами
, тоже состоящая из
строк и
столбцов, то она считается равной матрице
тогда и только тогда, когда соответствующие элементы обеих матриц равны
. В этом случае пишут
. Матриа
не есть число - это таблица. Однако для квадратной матрицы можно рассматривать число
- определитель, порожденный этой матрицей.
Пусть
- натуральное число, не превышающее
и
. Зачеркнем в таблице (1) какие-либо
столбцов и
строк. Элементы
, находящиеся на пересечении зачеркнутых столбцов и строк, образуют квадратную матрицу, которая порождает определитель
-го порядка. Полученный определитель называется определителем
-го порядка порожденным матрицей
.
Рангом матрицы
называется наибольшее натуральное число
, для которого существует не равный нулю определитель
-го порядка, порождаемый матрицей
(см. § 4).
Если в матрице
сделать ее строки столбцами с тем же самым номером, то получим матрицу
, (2)
называемую транспонированной к
матрицей.
Если в матрице
ее элементы
заменить на их комплексно сопряженные, то получим матрицу
,
называемую комплексно сопряженной с
матрицей.
Далее матрица

называется сопряженной с
матрицей.
Если
- действительная матрица, т. е. имеющая действительные элементы
, то, очевидно,
,
.
Матрицы одного и того же размера, т. е. состоящие из одинакового числа строк и столбцов, можно складывать. Суммой двух таких матриц
и
называется матрица
, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц
и
:
. Символически этот факт будем записывать так:
.
Легко видеть, что

.
Произведением числа
на матрицу
(или произведением матрицы
на число
) будем называть матрицу, элементы которой равны произведению числа
, на соответствующие элементы матрицы
. Таким образом,
.
Пример. Пусть
,
.
Найти матрицу
.
На основании определения суммы матриц и умножения матрицы на число имеем
, 
.