§ 25. Поверхность второго порядка в трехмерном пространстве

Уравнение

, (1)

где - заданные постоянные числа, а - переменная точка в , определяет, вообще говоря, некоторое множество точек в , называемое поверхностью второго порядка. Если уравнение (1) не удовлетворяется ни одной действительной точкой , то говорят, что оно определяет мнимую поверхность. Нас эти случаи не будут интересовать. В некоторых случаях уравнение (1) может определять пару различных или совпадающих плоскостей или одну-единственную точку. Но и такие множества мы будем называть поверхностями.

Перечислим важнейшие частные случаи уравнения (1):

1) Эллипсоид

2) Однополостный гиперболоид

3) Двуполостный гиперболоид

4) Эллиптический параболоид

5) Гиперболический параболоид

6) Конус второго порядка

7) Точка

8) Цилиндры второго порядка:

цилиндр эллиптический

цилиндр гиперболический

цилиндр параболический

пара пересекающихся плоскостей

пара параллельных или совпадающих плоскостей

прямая

При рассмотрении частных случаев уравнения (1) мы считали, что .

Можно доказать, что для каждого частного уравнения (1), если оно не определяет мнимую поверхность, можно найти прямоугольную систему координат, в которой это уравнение имеет один из перечисленных выше восьми видов. Это следует из общей теории § 22. Само преобразование уравнения (1) производится так же, как в § 24. Нахождение собственных значений сводится к решению кубического уравнения.

Укажем еще один путь нахождения собственных чисел и собственных векторов, который мы по сути дела уже рассмотрели в § 23 в двумерном случае. Собственные значения самосопряженного оператора и принадлежащие им нормированные векторы можно находить следующим образом (обоснование см. ниже). Вводим определитель :

где — единичная матрица. Находим корни уравнения

, (2)

которое называется характеристическим уравнением оператора . Это и есть собственные числа оператора . Они действительные, причем они могут быть разными, но могут и совпадать - быть кратными. Таким образом,

Затем для корня ищем нетривиальное решение однородной системы уравнений:

(3)

или соответствующего уравнения для оператора :

, (3')

где - единичная матрица и векторы .

Если - простой корень (т. е. в данном случае , отлично от и от , то ранг матрицы системы (3) необходимо будет равен двум (ранг ), и мы получим единственный, с точностью до знака, вектор , удовлетворяющий системе (3), т. е.

или

Если - корень второй кратности , то система (3) необходимо имеет ранг, равный единице (ранг ), и будет иметь два ортонормированных решения и , которые являются собственными векторами, принадлежащими собственному значению :

Наконец, если - корень третьей кратности , то система (3) необходимо имеет ранг, равный нулю (ранг ), и будет иметь три ортонормированных решения :

Любые три ортонормированных вектора в могут быть взяты в качестве собственных векторов , принадлежащих собственным числам .

Обоснуем сказанное. Мы знаем, что в существует система ортонормированных векторов и действительные числа , такие, что

При этом можно указать ортогональную матрицу такую, что (см. § 22)

Отсюда для переменного числа имеет место тождество

(4)

Определитель матрицы мы обозначили выше через . Он, как это видно из (4), равен определителю матрицы, стоящей в правой части (4), так как

Таким образом,

Мы получили, что корни многочлена совпадают с собственными значениями оператора . Они, таким образом, действительны.

Пусть - простой корень и, следовательно, и . Тогда матрица справа в (4) при имеет ранг, равный двум (ранг ), но тогда ранг . Ведь решения однородной системы (3) и системы

(5)

соответствующей матрице (4), преобразуются друг в друга при помощи ортогональной матрицы (системы (3) и (5) эквивалентны). Система же (5) имеет только одно (с точностью до знака) нормированное решение (±1, 0, 0). Но это возможно, лишь если ранг .

Можно дать и такое объяснение этого факта. Если предположить, что все определители второго порядка, порожденные матрицей , равны нулю, то тогда и все определители второго порядка, порожденные матрицей , также будут равны нулю, так как эти определители являются линейными комбинациями определителей второго порядка из матрицы . Но этого не может быть, ибо определитель, порожденный матрицей ,

Если теперь , то, рассуждая аналогично, получим, что ранг , и тогда существует в точности два ортонормированных решения системы (3), соответствующих .

Наконец, при будет ранг , т. е. все элементы матрицы равны нулю. В этом случае любой вектор является решением системы (3). Это приводит к тому, что любые три вектора , образующие ортонормированную систему, будут собственными векторами, принадлежащими собственному значению .