24.3 Классификация кривых второго порядка

Ниже будет доказано, что существует прямоугольная система координат такая, что в ней кривая (1), если она не мнимая, имеет одно из перечисленных выше уравнений 1) - 6).

Более детально:

при кривая (1) есть эллипс, точка (случаи 1), 6)) или мнимая кривая;

при кривая (1) есть гипербола или пара пересекающихся (разных) прямых (случаи 2), 4));

при кривая (1) есть парабола, пара параллельных или совпадающих прямых или мнимая кривая (случаи 3), 5)).

Мы позволяем себе говорить «кривая» даже и в случаях 4), 5), 6), когда речь идет о паре прямых или множестве, состоящем из одной точки.

Итак, пусть задано уравнение

, (1)

где коэффициенты , , одновременно не равны нулю.

Не нарушая общности, можно считать, что . К этой ситуации всегда можно прийти с помощью ортогональных преобразований:

и умножения левой и правой частей (1) на -1.

Если , то (1) можно записать в виде

. (11)

Параллельный перенос

преобразует уравнение (11) следующим образом:

. (11')

Если число , то уравнение (11') представляет собой уравнение эллипса (случай 1)) с полуосями , , где

Отметим, что в данном случае .

Если же правая часть уравнения (11') равна нулю, то мы получаем точку (случай 6)).

При отрицательной правой части уравнение (11') дает мнимую кривую.

Если число , то (1) можно записать в виде

. (12)

Пусть число , тогда параллельный перенос

преобразует уравнение (12) в уравнение

, (12')

которое (после замены, если нужно, на ) представляет собой уравнение параболы (случай 3)).

Если , то в зависимости от знака числа , мы получим пару параллельных прямых или мнимую кривую. Отметим, что здесь .

Далее, если число , то уравнение (1) можно записать:

, (13)

анализ которого проводится так же, как в случае уравнения (11). Уравнение (13) дает гиперболу или пару пересекающихся прямых (случаи 2) и 4)). Отметим, что в данном случае .

Случай сводится к уравнению типа (12).

Итак, при уравнение (1) всегда дает один из частных случаев 1)-6).

Пусть теперь . Тогда, как мы знаем (см. § 23), существует ортогональное преобразование

, (14)

где

которое приводит квадратичную форму

к каноническому виду.

Преобразуем уравнение (1) с помощью (14):

, (15)

где

. Перепишем уравнение (15) в виде

. (15')

Уравнение (15') является частным случаем уравнения (1) при , которое мы уже исследовали.

Таким образом, мы можем сказать, что если:

1) , то уравнение (1) представляет собой эллипс, точку или мнимую кривую. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу;

2) , то уравнение (1) представляет собой гиперболу или пару пересекающихся прямых. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит гиперболическому типу;

3) , то уравнение (1) изображает параболу, пару параллельных прямых или мнимую кривую. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит параболическому типу.